[2646] Róbert Gida | 2008-05-15 23:35:28 |
 Szerintem nem adható rá explicit képlet tetszőleges n-re. Programozási versenyen volt egy hasonló példa axb-es téglalapra, de úgy, hogy alul és felül is ki lehet jutni, gyakorlatilag végignézték az összes esetet a megoldásoknál.
Ha az első ábrában a hatodik sor első pozicióján nem autó van, és ilyen 7x7-es blokkokat rakunk egymásra, akkor tetszőleges autó fel tud jutni a legfelső sorba. Ha a nagy négyzet felső sorából töröljük az autókat, így már mindenki kijut, ez (7k)x(7k)-asra müködik, ha n nem ilyen alakú, akkor legyen k=floor(n/7). Az autók száma aszimptotikusan .
Felső becslés pedig: egy autónak van van legalább egy nem autó szomszédja, hogy esélye legyen kijutni (kivéve, ha n=1 és 1 autó van az ábrán), továbbá egy nem autó hely maximum 3 autónak lehet szomszédja, ami kijutásra használja, ellenben minden szomszéd autó, de akkor nem tudna kijutni, ha odamenne. Így #autó<=3*#nemautó, azaz
#auto<=3*(n2-#auto), innen teljesül, ha n>1.
|
Előzmény: [2643] Lóczi Lajos, 2008-05-15 21:51:46 |
|
[2645] Sirpi | 2008-05-15 22:39:14 |
 Szerintem ezt a négyzetfelosztást mindig meg lehet csinálni akkor is, ha a két kis négyzet (egész) oldalhosszát előírjuk (a és b). Hiszen ekkor egy ab(a2+b2) oldalhosszú négyzet biztos kitölthető, méghozzá úgy, hogy a felső részében vannak az a oldalhosszú kis négyzetek (b(a2+b2)×a db.), alatta pedig a b oldalúak (a(a2+b2)×b db.). Sőt, gyakran kevesebb is elég lehet, pl. ha a és b nem relatív prím. Viszont azt nem tudom, hogy ennél kevésbé rendezett megoldások is vannak-e kisebb elemszámmal.
|
Előzmény: [2643] Lóczi Lajos, 2008-05-15 21:51:46 |
|
[2644] jonas | 2008-05-15 22:23:31 |
 A négyzetes nem nehéz.
Egyszerűen választunk egy (s,a,x) számhármast, amelyre 1<s,x és 0<x<a2, és a2-x=s2x. Ezután egy nagy négyzetet felosztunk a2 közepes négyzetre, majd x darab közepes négyzetet egyenként s2 darab kis négyzetre.
Több megfelelő számhármas is van, az ábra a (2,5,5)-nek megfelelő megoldást mutatja, de jó például a (2,10,20),(3,10,10),(7,10,2),(2,15,45),(4,17,17),(2,20,80),(3,20,40),... is.
Ha 4s2 x, akkor megtehetjük azt is, hogy egy (vagu több) közepes négyzetet kis négyzetek közé fáziseltolással csempészünk be, ahogy a második ábra mutatja.
|
 |
Előzmény: [2643] Lóczi Lajos, 2008-05-15 21:51:46 |
|
[2643] Lóczi Lajos | 2008-05-15 21:51:46 |
 Hát akkor tűzzük ki :) Az is érdekes kérdés, hogy határértékben mi a fekete/fehér kockák aránya, az optimális esetben, ha a négyzetrács mérete végtelenhez tart. Amúgy ezt a feladatot idén adták fel orosz 6.-osoknak, egy olimpiai előkészítőn. A közölt megoldás is 28-at ad meg (egyébként Python ábráján a jobb szélsőt), persze nem bizonyítja az optimalitást. (A feladat pontozása érdekes: aki 25 autót rak be, 1 pontot kap, ezen felül viszont minden újabb autó plusz 2 pontot ér :-)
A másik, hasonlóan érdekes feladat: osszunk fel egy négyzetet kétféle méretű négyzetre, úgy, hogy a két fajtából egyforma számú darab szerepel. Kíváncsi vagyok, hogy van-e lényegében másfajta elrendezés, mint amit közöltek.
(A többi 4 feladat triviális volt ezekhez képest.)
|
Előzmény: [2642] Python, 2008-05-15 19:55:25 |
|
[2642] Python | 2008-05-15 19:55:25 |
 A 28 nálam is megvan és szerintem nincs ennél jobb, mivel elég sokat szórakoztam, és 28-at többfélét találtam, de annál jobbat nem (3 példányt felteszek ábrában). Érdekes lenne a feladatot általánosabban is kitűzn, tehát n×n-es parkolóra.
|
 |
Előzmény: [2640] Káli gúla, 2008-05-15 14:50:44 |
|
[2641] Róbert Gida | 2008-05-15 16:48:03 |
 Jók a számok. Lehet találni egy formulát, ami ilyen számokat állít elő, feltéve, hogy néhány szám prím a formulában. Ez hasonló a Carmichael számokat gyártó képlethez, ami persze nem véletlen, hiszen ahogy írtad ezek mind azok. Ha egy ikerprím sejtéshez hasonló sejtés igaz, akkor máris végtelen sok ilyen szám van.
|
Előzmény: [2638] Enkidu, 2008-05-15 12:41:43 |
|
|
|
[2638] Enkidu | 2008-05-15 12:41:43 |
 Ha jól számoltam az első két szám: 1729 és 2465 (a harmadik a 15841). A "bizonyításom" egy program, ami végigfut a Carmichael-számokon (csak ilyenek lehetnek a feladatban kitűzött számok).
Hogy miért éppen a Carmichael-számok?! Azok az n számok, melyekre minden lnko(a,n) = 1 esetén an-1 1(modn) azok éppen a prímek és a Carmichael-számok. Prímek esetén viszont van olyan a<n, amely primitív gyök, erre az a-ra nem teljesülhet a feladatban kitűzött egyenlőség.
Most hirtelenjében csak azokon a számokon fut a progi, amik beleférnek a szabvány 16-bites (max 32000) egész szám fogalmába. Arra nem merek tippelni, hogy véges, vagy végtelen sok ilyen szám van.
Üdv!
|
Előzmény: [2633] Róbert Gida, 2008-04-28 19:11:45 |
|
[2637] Lóczi Lajos | 2008-05-13 12:14:17 |
 Egy 7x7-es autóparkolóba legfeljebb hány darab autót helyezhetünk el, ha azt akarjuk, hogy bármelyik ki tudjon jönni a többitől függetlenül? (A kijárat bal fölül van, és egyszerre mindig csak 1 autó mozog. 1 autó 1 teljes négyzetet foglal el és csak a négyzetrács mentén mozoghatnak függőlegesen vagy vízszintesen.)
|
 |
|