Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: Érdekes matekfeladatok

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]    [161]    [162]    [163]    [164]    [165]    [166]    [167]    [168]    [169]    [170]    [171]    [172]    [173]    [174]    [175]    [176]    [177]    [178]    [179]    [180]    [181]    [182]    [183]    [184]    [185]    [186]    [187]    [188]    [189]    [190]    [191]    [192]    [193]    [194]    [195]    [196]    [197]    [198]    [199]    [200]    [201]    [202]    [203]    [204]    [205]    [206]    [207]    [208]    [209]    [210]    [211]    [212]    [213]    [214]    [215]    [216]    [217]    [218]    [219]    [220]    [221]    [222]    [223]    [224]    [225]    [226]    [227]    [228]    [229]    [230]    [231]    [232]    [233]    [234]    [235]    [236]    [237]    [238]    [239]    [240]    [241]    [242]    [243]    [244]    [245]    [246]    [247]    [248]    [249]    [250]    [251]    [252]    [253]    [254]    [255]    [256]    [257]    [258]    [259]    [260]    [261]    [262]    [263]    [264]    [265]    [266]    [267]    [268]    [269]    [270]    [271]    [272]    [273]    [274]    [275]    [276]    [277]    [278]    [279]    [280]    [281]    [282]    [283]    [284]    [285]    [286]    [287]    [288]    [289]    [290]    [291]    [292]    [293]    [294]    [295]    [296]    [297]    [298]    [299]    [300]    [301]    [302]    [303]    [304]    [305]    [306]    [307]    [308]    [309]    [310]    [311]    [312]    [313]    [314]    [315]    [316]    [317]    [318]    [319]    [320]    [321]    [322]    [323]    [324]    [325]    [326]    [327]    [328]    [329]    [330]    [331]    [332]    [333]    [334]    [335]    [336]    [337]    [338]    [339]    [340]    [341]    [342]    [343]    [344]    [345]    [346]    [347]    [348]    [349]    [350]    [351]    [352]    [353]    [354]    [355]    [356]    [357]    [358]    [359]    [360]    [361]    [362]    [363]    [364]    [365]    [366]    [367]    [368]    [369]    [370]    [371]    [372]    [373]    [374]    [375]    [376]    [377]    [378]    [379]    [380]    [381]    [382]    [383]    [384]    [385]    [386]    [387]    [388]    [389]    [390]    [391]    [392]    [393]    [394]    [395]    [396]    [397]    [398]    [399]    [400]    [401]    [402]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[2689] leni5362008-06-10 14:15:46

Az an (bn) sorozat monoton növekvő (csökkenö) és felső (alsó) korlátja f(x). Ugyanis az n+1. intervallum részhalmaza az n. intervallumnak, ezért a fügvény minimuma (maximuma) az intervallumon nem csökkenhet (nőhet).

Előzmény: [2687] nadorp, 2008-06-10 08:56:14
[2688] Fálesz Mihály2008-06-10 11:13:41

"Arra vagyok nagyon kíváncsi, hogy van-e kombinatorikai interpretációja a feladatnak, és esetleg van-e kombinatorikai megoldása."

Van.

Előzmény: [2684] lgdt, 2008-06-09 00:24:52
[2687] nadorp2008-06-10 08:56:14

A befejezés egy kicsit hiányos.

"A folytonosság úgy teljesülhet, ha: ...", helyett az kéne, hogy

Mivel az f(x) függvény folytonos, ezért ....

De honnan tudjuk, hogy az an,bn sorozatok konvergensek, miért következik ez a folytonosságból ?

Előzmény: [2686] leni536, 2008-06-09 18:12:37
[2686] leni5362008-06-09 18:12:37

Legyen an a függvény minimuma, bn a függvény maximuma az \left[x-\frac1n,x+\frac1n\right] intervallumon.

\int_{x-\frac1n}^{x+\frac1n}a_ndt\le\int_{x-\frac1n}^{x+\frac1n}f(t)dt\le\int_{x-\frac1n}^{x+\frac1n}b_ndt

(Két függvényt integrálunk és az egyik minden pontban nagyobb vagy egyenlő, mint a másik)

\frac2na_n\le\int_{x-\frac1n}^{x+\frac1n}f(t)dt\le\frac2nb_n

a_n\le\frac{n}2\int_{x-\frac1n}^{x+\frac1n}f(t)dt\le b_n

A folytonosság úgy teljesülhet, ha:

\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}b_n=f(x)

A rendőrelv alapján a keresett határérték:

\lim_{n\to\infty}f_n(x)=f(x)

Előzmény: [2685] Gyöngyő, 2008-06-09 17:01:17
[2685] Gyöngyő2008-06-09 17:01:17

Sziasztok!

Van egy jó kis feladatom!

Legyen f folytonos (0,1)-en. Konvergens-e a következő függvénysorozat?

f_n(x) := \frac n2 \int_{x-\frac 1n}^{x+ \frac 1n} f(t)dt

bocs, de a képletbeírási megoldásod "enyhén" rontotta a fórumképet, javítottam - Sirpi

[2684] lgdt2008-06-09 00:24:52

Hű, érdekes megoldások. Mi egy polinomos feladat kapcsán jöttünk rá, hogy ez így van.

Vegyük egy tetszőleges c-edfokú polinomfüggvény helyettesítési értékeit n+1 egymást követő egész helyen: P(x),P(x+1),...,P(x+n), legyen c<n.

Vonjuk ki az értékekből az őket megelőző értékeket (azaz képezzük a differencia-sorozatot), ekkor egy kisebb fokszámú polinomfüggvény helyettesítési értékeit kapjuk eggyel kevesebb helyen (vagy ha konstans 0 volt, akkor konstans 0-t).

Ezt n-szer ismételve egyetlen szám marad. Kövessük nyomon, hogy ez az első polinom helyettesítési értékeitől hogyan függ: látjuk, hogy mivel a képzési szabály éppen a váltakozó előjelekkel megtűzdelt Pascal-háromszög képzési szabálya, ezt kapjuk:

\sum_{k=0}^n(-1)^k P(x+k)\binom{n}{k}

Ekkorra a polinom már teljesen elfogy, ezért a megmaradó szám csak 0 lehet.

Írok egy példát is:

a, b, c, d, e // harmadfokú
b-a, c-b, d-c, e-d // másodfok
c-2b+a, d-2c+b, e-2d+c // elsőfokú
d-3c+3b-a, e-3d+3c-b // nulladfokú
e-4d+6c-4b+a = 0

Azért nagyon jó ez az egész, mert könnyen meg lehet vele mondani egy polinom következő helyettesítési értékét az előzőek alapján.

Arra vagyok nagyon kíváncsi, hogy van-e kombinatorikai interpretációja a feladatnak, és esetleg van-e kombinatorikai megoldása.

[2683] Káli gúla2008-06-08 22:57:04

Könnyebb az állítást kc helyett más c-edfokú polinomra igazolni. Ez természetesen az általánosság szempontjából mindegy. Például p(k)=\binom{k}{c} esetén, felhasználva a \binom{n}{k}\binom{k}{c}=\binom{n}{c}\binom{n-c}{k-c} azonosságot :

\sum_{k=0}^{n}(-1)^k\binom{n}{k}\binom{k}{c}= \sum_{k=0}^{n}(-1)^k\binom{n}{c}\binom{n-c}{k-c}= \binom{n}{c}\sum_{k=0}^{n-c}(-1)^k\binom{n-c}{k}=0.

(2) Ki lehetett volna indulni az (1+x)^n=\sum \binom{n}{k} x^k azonosságból is, amit c-szer deriválva \matrix{}x=-1-nél a \matrix{}q(k)=k(k-1). . . (k-c+1) polinomra adódik a keresett összefüggés.

Előzmény: [2681] lgdt, 2008-06-05 21:50:56
[2682] Enkidu2008-06-08 11:05:47

Előre is bocs, TeX-ben (újra)kezdő vagyok!

Ha bevezetjük az

F(x,c,n)= \sum_{k=0}^n {(-1)^k (x+k)^c \binom{n}{k}}

jelölést, akkor az igazolandó állítás: F(0,c,n)=0, ha c<n. Mi egy kicsit általánosabbat fogunk bizonyítani: F(x,c,n)\equiv0 is igaz.

Biz.: Indukcióval.(Ha c,n-t rögzítjük, akkor F egyváltozós -csak x!- függvény.) Valamint a továbbiakban feltesszük, hogy n>c mindig.

F(x,1,2)=x-2(x+1)+(x+2)\equiv0, ez rendben. Ezek szerint F(x,1,2) (c,n-t rögzítve) a konstans 0 függvény, és persze -F(x+1,1,2)\equiv0 is igaz. Ha kirészletezzük

F(x,1,2) = (-1)^0 x \binom{2}{0} + (-1)^1 (x+1) \binom{2}{1} + (-1)^2 (x+2) \binom{2}{2}

valamint

-F(x+1,1,2) = -(-1)^0 (x+1) \binom{2}{0} - (-1)^1 (x+2) \binom{2}{1} - (-1)^2 (x+3) \binom{2}{2}

Mivel a binomiális együtthatókra igaz, hogy

\binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k} = \binom{n}{k}

, emiatt 0\equivF(x,1,2)-F(x+1,1,2)=F(x,1,3) is igaz. (Azért írtam ilyen részletesen, mert az indukció többi lépése ugyanerre az ötletre épül.)

Hasonlóan ha F(x,1,n)\equiv0, akkor -F(x+1,1,n)\equiv0 és az előzőek szerint F(x,1,n+1)\equiv0 is igaz, vagyis c=1-re igaz az állítás.

Másfelől ha F(x,c,n)-t x- szerint deriváljuk, F'(x,c,n)=cF(x,c-1,n). Emiatt, ha F(x,c,n)\equiv0, akkor F(x,c+1,n)\equivd valamilyen d számra. Azt kellene látni, hogy feltéve, hogy F(x,n-2,n)\equiv0, F(x,n-1,n)\equivd esetén d csak a 0 lehet. Ez pedig a következők miatt igaz: x=-n/2 helyettesítéssel:

F(-n/2,n-1,n) = \sum_{k=0}^n {(-1)^k (-n/2 + k)^{n-1} \binom{n}{k}}

itt n akár páros, akár páratlan az első-utolsó, második-utolsó előtti... tagok a szummában egymás ellentettjei (páros n esetén a középső tag egy 0), így összegük: 0. Mivel F(x,n-1,n) konstans volt, csak a konstans 0 lehet. Ezek szerint F(x,1,3)\equiv0 miatt F(x,2,3)\equiv0 is igaz, innen hasonlóan, mint c=1 esetén F(x,2,n) (n>2) is a konstans 0. Onnan F(x,3,4)\equiv0, majd F(x,3,n)\equiv0 (n>3) és így tovább... Ezzel az állítást beláttuk.

Melléktermékként kijöttek nekem a következő összefüggések (bizonyítás nélkül):

F(x,n,n) = \sum_{k=0}^n {(-1)^k (x+k)^n \binom{n}{k}} = (-1)^n n!

\sum_{n=0}^c \sum_{k=0}^n {(-1)^k (x+k)^c \binom{n}{k}} = (x-1)^c

Ez utóbbi két összefüggés (1.) x=0, valamint (2.) x=-1,0,1 esetén szép összegeket ad, valamint a második összegben c-helyett végtelenig is mehetünk.

Feladat: bizonyítsuk ezt a két utóbbi összeget!

Ui.: Bocs ez egy kicsit szószátyár lett. Hellósztok!

Előzmény: [2681] lgdt, 2008-06-05 21:50:56
[2681] lgdt2008-06-05 21:50:56

Lehet, hogy ez az alábbi túl könnyű feladatnak számít, nem tudom eldönteni.

Közismert, hogy a Pascal-háromszög bármely sorának tagjait váltakozó előjelekkel összeadva 0-t kapunk.

Ennél több is igaz: akkor is nullát kapunk, ha az n-edik sor tagjait (-1)kkc-nel szorozva (ahol k az oszlopindex) adjuk össze - feltéve, hogy c<n.

Miért van ez?

[2680] Lóczi Lajos2008-06-03 18:13:25

Elküldtem.

Előzmény: [2678] Gyöngyő, 2008-06-02 23:26:40

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]    [161]    [162]    [163]    [164]    [165]    [166]    [167]    [168]    [169]    [170]    [171]    [172]    [173]    [174]    [175]    [176]    [177]    [178]    [179]    [180]    [181]    [182]    [183]    [184]    [185]    [186]    [187]    [188]    [189]    [190]    [191]    [192]    [193]    [194]    [195]    [196]    [197]    [198]    [199]    [200]    [201]    [202]    [203]    [204]    [205]    [206]    [207]    [208]    [209]    [210]    [211]    [212]    [213]    [214]    [215]    [216]    [217]    [218]    [219]    [220]    [221]    [222]    [223]    [224]    [225]    [226]    [227]    [228]    [229]    [230]    [231]    [232]    [233]    [234]    [235]    [236]    [237]    [238]    [239]    [240]    [241]    [242]    [243]    [244]    [245]    [246]    [247]    [248]    [249]    [250]    [251]    [252]    [253]    [254]    [255]    [256]    [257]    [258]    [259]    [260]    [261]    [262]    [263]    [264]    [265]    [266]    [267]    [268]    [269]    [270]    [271]    [272]    [273]    [274]    [275]    [276]    [277]    [278]    [279]    [280]    [281]    [282]    [283]    [284]    [285]    [286]    [287]    [288]    [289]    [290]    [291]    [292]    [293]    [294]    [295]    [296]    [297]    [298]    [299]    [300]    [301]    [302]    [303]    [304]    [305]    [306]    [307]    [308]    [309]    [310]    [311]    [312]    [313]    [314]    [315]    [316]    [317]    [318]    [319]    [320]    [321]    [322]    [323]    [324]    [325]    [326]    [327]    [328]    [329]    [330]    [331]    [332]    [333]    [334]    [335]    [336]    [337]    [338]    [339]    [340]    [341]    [342]    [343]    [344]    [345]    [346]    [347]    [348]    [349]    [350]    [351]    [352]    [353]    [354]    [355]    [356]    [357]    [358]    [359]    [360]    [361]    [362]    [363]    [364]    [365]    [366]    [367]    [368]    [369]    [370]    [371]    [372]    [373]    [374]    [375]    [376]    [377]    [378]    [379]    [380]    [381]    [382]    [383]    [384]    [385]    [386]    [387]    [388]    [389]    [390]    [391]    [392]    [393]    [394]    [395]    [396]    [397]    [398]    [399]    [400]    [401]    [402]