| [2780] Euler | 2008-11-26 08:35:20 |
 A távolsága a két függvénynek négyzetgyök 2, hiszen ezek egymás inverzei, igy mindkét függvénynek a távolsága megegyezik az y=x egyenestől ennek a távolságát pl. a logaritmusfüggvénytől már meg tudjuk határozni deriválással, mert a (0,1) pontba húzott érintő meredeksége éppen egy(könnyen ellenőrizhető), ezen érintő és az y=x távolságának kétszerese pedig éppen a keresett távolság. Az egyenletnek nyilván megoldása az x=0. Rendezzük át az egyenletet úgy, hogy az utolsó két tagot átvisszük a jobb oldalra, igy, ha x>0, akkor a bal oldal negativ, a jobb oldal pozitiv, hasonlóan, ha x<0, akkor a bal oldal pozitiv, a jobb oldal negativ, igy újabb megoldások már nincsnek.
|
| Előzmény: [2778] Lóczi Lajos, 2008-11-26 00:29:09 |
|
| [2779] Lóczi Lajos | 2008-11-26 00:33:28 |
 335. feladat. Oldjuk meg a valós számok halmazán az
e-x-e2x-x-xex=0
egyenletet.
|
|
| [2778] Lóczi Lajos | 2008-11-26 00:29:09 |
|
334. feladat. Határozzuk meg a (természetes alapú) exponenciális függvény és logaritmusfüggvény grafikonjainak távolságát.
|
|
|
|
| [2775] Lóczi Lajos | 2008-11-25 23:48:43 |
|
333. feladat. Különböző a>1 számok esetén vizsgálva az x ax függvények grafikonjait láthatjuk, hogy bizonyos a számok esetén (pl. a=2) a grafikon határozottan az y=x egyenes felett van, míg kisebb a>1 számok esetén (pl. a=1.1) az exponenciális függvény grafikonja metszi az y=x egyenest. Adjuk meg a "határalapot", vagyis azt az a>1 számot, amelyre az exponenciális függvény éppen érinti a 45 fokos egyenest.
|
|
| [2774] Valezius | 2008-11-25 21:47:14 |
|
Tegyük fel, hogy létezik ilyen függvény. Toljuk el úgy, hogy f(0)=0 legyen, majd vegyük az abszolút értékét. Az így kapott függvény még mindig olyan tulajdonságú, hogy értékkészletének minden pontját páros sokszor veszi fel.
Mivel minden értéket csak véges sokszor vehet fel, így két szélsőértékhely között szigorúan monoton.
Ha y egy olyan érték, ami a 0kivételével minden lokális szélsőértékénél kisebb, akkor:
0-tól az első szélsőértékhelyig 1-szer veszi fel y-t a függvényt. Ha f(x)=0, akkor az x előtti és x utáni szélsőértékhelyek között pontosan kétszer veszi fel y-t.
Ebből már következik, hogy f(1)=0. Ha f(1)>0, akkor van olyan y', hogy y'<f(1) és mint az előző bekezdésből látszik y'-t páratlan sokszor veszi fel a fv.
Tehát a függvénynek f(0)-ban és f(1)-ben is minimuma van. Amiből az következik, hogy összesen páratlan sok szélsőértékhelye van. (Mert a szélsőértékeket rendre lok. min-lok. max-lok. min-...-lok. min sorrendben veszi fel a fv.)
Márpedig egy ilyen függvénynek minden szélsőértékét páros sokszor kell felvennie.
Ezzel beláttuk, hogy nincs ilyen fv.
|
| Előzmény: [2771] lgdt, 2008-11-23 16:03:22 |
|
|
| [2772] Róbert Gida | 2008-11-23 17:34:40 |
 Nem mondtam semmit a transzformációról, hogy milyen lesz. [0,1]-en is megadható ugyanilyen fűrészfogas folyt. fv., sok fantázia nem kell hozzá. 2 értéket kétszer vesz fel, értékkészletének többi értékét pedig pontosan négyszer.
|
| Előzmény: [2770] Valezius, 2008-11-23 14:37:12 |
|
|
C(R), f(R)=R függvény úgy, hogy minden a
és páros.) 
R, f
x