| [2789] Cogito | 2008-12-12 19:30:50 |
 336. feladat. Legyen t 0, x, y, z pedig pozitív szám. Bizonyítsuk be, hogy
xt(x - y)(x - z) + yt(y - x)(y - z)+ zt(z - x)(z - y)0.
|
|
| [2788] Lóczi Lajos | 2008-12-04 20:59:37 |
 Sőt, bonyolultabban is megkapható :), pl. úgy, mint két ponthalmaz a síkon, ahol a kétváltozós távolságfüggvényt kell minimalizálni. Ennek a módszernek az "előnye", hogy a [2778]-as hozzászólásból a [2779]-esbeli feladatot gyártotta.
|
| Előzmény: [2787] Valezius, 2008-12-04 15:05:49 |
|
| [2787] Valezius | 2008-12-04 15:05:49 |
|
Egyszerűbben is megkapható.
Egyrészt ax=x Másrészt: ax*ln a=1 Ha a másodikban beírjuk ax helyére x-et, akkor x*ln a=1. Az első pedig átírható, mint ex*ln a=x Azaz e1=x Visszaírva pedig  Azaz 
|
| Előzmény: [2786] rizsesz, 2008-11-26 21:46:38 |
|
| [2786] rizsesz | 2008-11-26 21:46:38 |
|
A feladat másképpen az, hogy x1/x = a-nak pontosan 1 megoldása legyen. x1/x deriváltja egyedül az x=e helyen 0 (már ha nem számoltam el, de nekem x1/x-2 * (1-ln x) jött ki. Ez pedig lokális (és amúgy abszolút) maximumot eredményez, tehát ezen érték mellett egy jó a érték van. Jaj. tehát vissza kell írni x helyére és kijön az a=e1/e . Jaj. Már csak azt a sejtést kell igazolni, hogy ha x a végtelenhez tart, akkor x1/x végtelenben vett határértéke 1. Ugyanis x1/x x=1 esetén 1, tehát mivel szigorúan monoton növekvő 1 és e, illetve szigorúan monoton csökkenő e és + végtelen között, továbbá folytonos, így az e-nél felvett értéken kívül minden értéket kétszer vesz fel.
|
| Előzmény: [2775] Lóczi Lajos, 2008-11-25 23:48:43 |
|
|
|
|
| [2782] rizsesz | 2008-11-26 17:02:59 |
|
e x. hatványával és (-1)-gyel felszorozva olyan függvények összege lesz az egyenlet bal oldala, amelyek mindegyik szogorúan monoton növekvő. Mivel x=0 megoldás, továbbá eleme az értelmezési tartománynak, így ez az egyetlen megoldás.
|
| Előzmény: [2779] Lóczi Lajos, 2008-11-26 00:33:28 |
|
|
| [2780] Euler | 2008-11-26 08:35:20 |
|
A távolsága a két függvénynek négyzetgyök 2, hiszen ezek egymás inverzei, igy mindkét függvénynek a távolsága megegyezik az y=x egyenestől ennek a távolságát pl. a logaritmusfüggvénytől már meg tudjuk határozni deriválással, mert a (0,1) pontba húzott érintő meredeksége éppen egy(könnyen ellenőrizhető), ezen érintő és az y=x távolságának kétszerese pedig éppen a keresett távolság. Az egyenletnek nyilván megoldása az x=0. Rendezzük át az egyenletet úgy, hogy az utolsó két tagot átvisszük a jobb oldalra, igy, ha x>0, akkor a bal oldal negativ, a jobb oldal pozitiv, hasonlóan, ha x<0, akkor a bal oldal pozitiv, a jobb oldal negativ, igy újabb megoldások már nincsnek.
|
| Előzmény: [2778] Lóczi Lajos, 2008-11-26 00:29:09 |
|
