Fórum: Érdekes matekfeladatok

Oké. periódus , periodikus

Dirichlet-függvény f(x) f(x)=1 ha, x racionális f(x)=o ha x irracionális periódusa minden racionális szám.

Akkor a periodikus fv definiciója:

f:D--R, az f függényt perodikusnak nevezzük, ha van p nem nulla valós szám ahol a függvény értelmezve van, és minden értelmezési tartománybeli x re x-p, x+p is értelmezési tartománybeli és f(x+l)=f(x), f(x-l)=f(x)

Én is arra gondoltam, hogy ha az összegben megenged nem periodikus tagot, akkor nincs miről beszélni, hiszen az lehet maga az előállítandó fv. mindenféle periodikus tag nélkül. Nekem úgy tűnik, hogy valamilyen könyvből kiollózott néhány bekezdést, esetleg idegen nyelvből fordítva, majd egymás után dobálta (pl. mi az a véletlen tag?). Nem tudom mi volt ezzel a célja, de szerintem ne is kérdezzük meg. Na mindegy, hagyjuk.

Amúgy érthető amit írtam? Szerintem nagyon érdekes, hogy az egyes osztályokon egymástól teljesen függetlenül lehet megadni az f-et. Nem tudom konkrétan megadni, hogy egy x pontban mi lesz f értéke, mert ehhez meg kéne találni annak az osztálynak a már kijelölt reprezentáns elemét (x₀), amelyben f értékét tetszőlegesen rögzítettük. Ha a reprezentáns elem már megvan, akkor n könnyen kiszámítható. Tehát x-re meg kéne találni x₀-t és n-et, hogy az {x}={x₀+np} egyenlőség teljesüljön (adott p mellett, pl. legyen gyök 2). Persze lehetne x₀ maga az x, ez is reprezentálja az osztályt, csak ahhoz hogy f értékét bármely x-re meg tudjuk mondani, az osztály minden x elemére ugyanazt az előre kiválasztott x₀-t kéne megkapni. Egyelőre nem találtam olyan algoritmust, amely ezt a problémát megoldaná (mindegy milyen reprezentáns elemet találunk, de az egy osztályba tartozó számokhoz mindig ugyanazt). Ebben kérek segítséget.

Esetleg más, két periodikus fv. összegeként nem előállítható fv.-ek előállíthatók több periodikus fv. összegeként. Ennek szerintem az lenne a szükséges és elégséges feltétele (pl. 3 fv-re), hogy létezzen p,q,r páronként nem összemérhető periodusok, hogy h(x+p+q)-h(x+p)-h(x+q)+h(x) r szerint periodikus legyen. Ez szerintem pl igaz a másodfokú polinomokra. S.í.t, n-ed fokú polinom előállítható n+1 db. periodikus fv. összegeként. Ezt még nem gondoltam végig. Vélemények?

:-)

"ha g(x) minden valós intervallumon korlátos változású függvény, és g(x=0) létezik, akkor g(x) előállítható megszámlalhatóan sok periódikus tag és egy nem periódikus tagnak az összegeként."

Bizonyítás:

g(x)=sinx+(g(x)-sinx)

:-)

köszönöm szépen a megoldást! ez az ötlet hiányzott!

Még egy pontosítás, a periodikus jelző rövid o-val van. Még egy pontosítás, nincsen olyan nem konstans függvény, aminek minden szám a periódusa volna.

Azt érdemes megfigyelni, hogy ha egy számot páros hosszú részekre vágunk szét, akkor elég a részek maradékát nézni mod 11, ezek összege ugyanaz lesz, mint a feldarabolt számé (és így tovább, a megjegyzés az egyes darabokra is alkalmazható). Először vegyük az egy-, két-, három- és négyjegyű számokból álló csoportokat (A₁, A₂, A₃, A₄):

A = A₁*10^2n₁ + A₂*10^2n₂ + A₃*10^2n₃ + A₄ .

A könnyebbtől elkezdve, a kétjegyűek sorozata kettesével: A₂=10+11+...+99, ez a 90 tagú sorozat a harmadik tagjától kezdve teljes maradékosztályokból áll, tehát A₂=10+11+0=10 (mod 11). Ugyanígy felírhatjuk az A₄-et négyesével: A₄=1000+1001+...+1979, ez egy 980 tagú összeg, a másodiktól kezdve teljes maradékosztályok összege, tehát A₄=1000+0=10 (mod 11). Az A₃-at hatosával érdemes csoportosítani: A₃=100101+102103+...+998999, így egy 450 tagú számtani sorozatot kapunk (d=2002), tehát A₃=450*(100101+998999)/2=10 (mod 11). Végül A₁=01+23+45+67+89=225=5 (mod 11). Tehát a keresett maradék A=5+10+10+10=2 (mod 11).

Szó szerint ugyanezzel az érveléssel (mod 99) az A=27+54+54+54=90 (mod 99) összefüggést kapnánk, de közvetlenül is beláthatjuk, hogy A = 0 (mod 9). Mivel ezen kívül A = -1 (mod 20), így végül is A=1179 (mod 1980).

Még egy pontosítás: a Dirichlet-függvény periódusai pontosan a pozitív racionális számok.

Kedves Petyka! Két kérdésem volna a megoldásodhoz: mi a helyzet akkor, ha az A mátrix négyzetes, de nem invertálható, illetve mi van akkor, ha sem A, sem B nem négyzetesek?

Kár, hogy nem olvastad el figyelmesebben amit írtam. Nem állítottam, hogy minden fv. előáll két periodikus fv. összegeként. Szerintem pontosan azok az egyébként nem periodikus h fv.-ek állnak így elő, amelyekre léteznek p és q nem összemérhető (hányadosuk irracionális) valós számok, úgy, hogy az x->h(x+p)-h(x) fv. q szerint periodikus (vagy ami ugyanez, hogy x->h(x+q)-h(x) p szerint periodikus). Amúgy már bocs, de kissé zagyvaságokat írsz. A perioddikus fv. definícióját ismerem, nem tudom miért írod le, mintha fel akarnál ezzel kapcsolatban világosítani. Ezután az "Akkor: f(x+p)+h(x+q)= g(x)" mit jelent? A g honnan jött, mi az? A törtrész periódusa valóban egy, ezért is feltételeztem, hogy f 1 szerint periodikus, mert a törtrésszel úgy egyszerűbb volt a jelölés. A Dirichlet fv. valóban periodikus, és nincs legkisebb periodusa, de nem azért mert "hiszen érték készlete 2 elemű véges halmaz: (1;0) ". Könnyű olyan fv.-t konstruálni aminek (1;0) az értékkészlete, de mégsem periodikus (pl. 0-ban legyen 0, különben pedig 1). Ezt a mondatodat nem értem: "g(x)-re kétfajta függvényt lehet kapni: g(x+r)=g(x), itt r szintén állandó, azaz periódikus függvény." Mi a g? miből lehet két fajtát kapni? Amit utána írsz, nem tudom, hogy úgy van-e, elképzelhető. De pontatlanságok miatt ott sem mindent értek. A "g(x=0) létezik" mit jelent? Értelmezve van a 0 pontban? Az "(ez lesz az r(0)beli helyettesítési értékek átlaga)" mit jelent? Mi az r? előbb még a g periodusa volt. Most mi? Ez a mondatod teljesen értelmetlen: "A nem periódikus tag tehát Fourier integrál, ha r(0)=0, ha r(0)nem nulla, akkor ez a véletlen tag. Vagy a nem periódikus tag előáll (1) szerint. Nincs más eset." Továbbra sem tudom mi az az r, a Fourier integrálra pedig egy integráltranszformációként emlékszek, tehát egy operátor, ami fv-hez egy másik fv-t rendel (nagyon rég tanultam, és most nincs is kedvem utána nézni), de lehet hogy mást is neveznek így. Akkor sem értem, hogy ez most így a levegőből hogyan pottyant ide. Szerintem jobban tennéd, ha nem vagdalkoznál szakkifejezésekkel, értelmetlen félmondatokkal, ettől nem fogsz okosabbnak látszani.

Szerintem: a periódikus fv. definiciója azt mondja, hogy f periódikus p szerint, akkor f(x+p)=f(x) minden x re igaz. Itt p állandó. p egy és csak egy nullától különböző szám.Ez a p f(x) egyik periódusa. Hiszen p egész számú többszöröse szintén periódus. p tehát legyen a legkisebb pozitív periódus. hasonlóan: h peródikus q szerint, akkor h(x+q)=h(x) Akkor: f(x+p)+h(x+q)= g(x) Pl: A törtrész függvény periódusa 1 A Dirichlet fv periódusa minden szám, (hiszen érték készlete 2 elemű véges halmaz: (1;0)

g(x)-re kétfajta függvényt lehet kapni: g(x+r)=g(x), itt r szintén állandó, azaz periódikus függvény.

Általában az igaz, hogy: (1)ha g(x) minden valós intervallumon korlátos változású függvény, és g(x=0) létezik, akkor g(x) előállítható megszámlalhatóan sok periódikus tag (ez lesz az r(0)beli helyettesítési értékek átlaga) és egy nem periódikus tagnak az összegeként.

A nem periódikus tag tehát Fourier integrál, ha r(0)=0, ha r(0)nem nulla, akkor ez a véletlen tag. Vagy a nem periódikus tag előáll (1) szerint. Nincs más eset.

Tehát általában az állítás: nem igaz, hogy minden függvény előállítható két periódikus függvény összegeként.