 Nem akarlak titeket fárasztani, de még néhány gondolat a periodikus fv.-es feladatról, kicsit egyszerűbben. Tehát a h egyébként nem periodikus fv.-t akarjuk előállítani f q szerint periodikus, és g p szerint periodikus fv.-ek összegeként. Azt állítom, hogy ez pontosan akkor lehetséges, ha x->h(x+p)-h(x) fv. q szerint periodikus, vagy ami ezzel ekvivalens x->h(x+q)-h(x) p szerint periodikus fv. A feltétel nyilván szükséges, hiszen ha g p szerint periodikus, akkor g(x+p)=g(x)-ből h(x+p)-f(x+p)=h(x)-f(x) azaz h(x+p)-h(x)=f(x+p)-f(x) következik. A jobboldal azonban q szerint periodikus, ezért a baloldal is az. A valós számok halmazát osztályokra bontom, majd az egyes osztályok egy-egy tetszőleges reprezentáns elemében tetszőlegesen megadva f értékét (és ezzel g-jét is), egyértelműen előállítom f-et és g-t az osztály összes elemén. Másik osztályra ugyanígy kiválasztok egy tetszőleges reprezentáns elemet, és ugyanezt megcsinálom, s.í.t. Az érdekes az, hogy a különböző osztályokon felvett fv. értékek teljesen függetlenek lehetnek egymástól. Az osztályok a következőképpen néznek ki:
Ax0:={np+kq+x0|n,k Z}
Ha x0 végigfut a valós számokon, az osztályok uniója megadja a valós számokat. Egy osztály megszámlálható sok elemet tartalmaz, azonban kontinuum sok osztály van. Hogy ez tényleg osztályozása a valós számoknak, azt könnyű belátni.Ugyanis, ha két különböző (x1-gyel és x2-vel reprezentált) osztálynak lenne közös elem, akkor léteznének n1,k1,n2,k2 egész számok, hogy n1p+k1q+x1=n2p+k2q+x2, amiből x2=(n1-n2)p+(k1-k2)q+x1 következne, vagyis x2 is az x1-gyel reprezentált osztály eleme. Másrészt ha már a reprezentáns elemeket rögzítettük és p,q nem összemérhetők, akkor bármely x valós szám egyértelműen áll elő x=n1p+k1q+x0 alakban (x0,n1,k1 számokat x egyértelműen meghatározza). Az x0 reprezentáns elem egyértelműsége az osztályozásból következik, és abból, hogy a reprezentáns elemeket előre rögzítettük. Ha lenne n1,k1-től különböző n2,k2, hogy n1p+k1q+x0=n2p+k2q+x0 teljesül, akkor p/q=(k2-k1)/(n2-n1) állna fent, vagyis p/q racionális lenne (de az volt a feltétel, hogy nem az). Ezek után az egyes osztályokon f és g már könnyen megadható. Az x0-lal reprezentált Ax0 osztályon legyen:
f(np+kq+x0):=h(np+x0)-h(x0)+f(x0)
g(np+kq+x0):=h(kq+x0)-h(x0)+g(x0)
Az így definiált f és g Ax0-on q illetve p szerint periodikus, és összegük előállítja h-t (ha h(x0)=f(x0)+g(x0)). f nyilván periodikus q szerint Ax0-on, hiszen értéke a definíció szerint nem függ k-tól. Ugyanígy g is periodikus p szerint (Ax0-on). f+g=h Ax0-on:
f(np+kq+x0)+g(np+kq+x0)=h(np+x0)-h(x0)+f(x0)+h(kq+x0)-h(x0)+g(x0)
Mivel x->h(x+p)-h(x) q szerint periodikus (ekkor x->h(x+np)-h(x) is periodikus q szerint mert h(x+np)-h(x)=h(x+np)-h(x+(n-1)p)+h(x+(n-1)p)-h(x+(n-2)p)+h(x+(n-2)p)-...-h(x)), h(np+x0)-h(x0)=h(np+kq+x0)-h(kq+x0), vagyis az előző egyenlet így írható:
f(np+kq+x0)+g(np+kq+x0)=h(np+kq+x0)-h(kq+x0)+h(kq+x0)-h(x0)+f(x0)+g(x0)=h(np+kq+x0)
A konstrukciót az összes osztályra elvégezve megkapjuk f-et és g-t a valós számokon.
|
-t 
F
h(x+a)-h(x)
