Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: Érdekes matekfeladatok

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]    [161]    [162]    [163]    [164]    [165]    [166]    [167]    [168]    [169]    [170]    [171]    [172]    [173]    [174]    [175]    [176]    [177]    [178]    [179]    [180]    [181]    [182]    [183]    [184]    [185]    [186]    [187]    [188]    [189]    [190]    [191]    [192]    [193]    [194]    [195]    [196]    [197]    [198]    [199]    [200]    [201]    [202]    [203]    [204]    [205]    [206]    [207]    [208]    [209]    [210]    [211]    [212]    [213]    [214]    [215]    [216]    [217]    [218]    [219]    [220]    [221]    [222]    [223]    [224]    [225]    [226]    [227]    [228]    [229]    [230]    [231]    [232]    [233]    [234]    [235]    [236]    [237]    [238]    [239]    [240]    [241]    [242]    [243]    [244]    [245]    [246]    [247]    [248]    [249]    [250]    [251]    [252]    [253]    [254]    [255]    [256]    [257]    [258]    [259]    [260]    [261]    [262]    [263]    [264]    [265]    [266]    [267]    [268]    [269]    [270]    [271]    [272]    [273]    [274]    [275]    [276]    [277]    [278]    [279]    [280]    [281]    [282]    [283]    [284]    [285]    [286]    [287]    [288]    [289]    [290]    [291]    [292]    [293]    [294]    [295]    [296]    [297]    [298]    [299]    [300]    [301]    [302]    [303]    [304]    [305]    [306]    [307]    [308]    [309]    [310]    [311]    [312]    [313]    [314]    [315]    [316]    [317]    [318]    [319]    [320]    [321]    [322]    [323]    [324]    [325]    [326]    [327]    [328]    [329]    [330]    [331]    [332]    [333]    [334]    [335]    [336]    [337]    [338]    [339]    [340]    [341]    [342]    [343]    [344]    [345]    [346]    [347]    [348]    [349]    [350]    [351]    [352]    [353]    [354]    [355]    [356]    [357]    [358]    [359]    [360]    [361]    [362]    [363]    [364]    [365]    [366]    [367]    [368]    [369]    [370]    [371]    [372]    [373]    [374]    [375]    [376]    [377]    [378]    [379]    [380]    [381]    [382]    [383]    [384]    [385]    [386]    [387]    [388]    [389]    [390]    [391]    [392]    [393]    [394]    [395]    [396]    [397]    [398]    [399]    [400]    [401]    [402]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[2864] rizsesz2009-01-23 23:47:26

Nálad mindkét változó-tömegnek van a jobb oldalon is függvénye (a+b+c=k, A+B+C=K), míg az én esetemben ctg\alpha, ctg\beta, ctg\gamma variálása nem befolyásolja a másik oldalt (T, amely csak A, B és C által meghatározott).

Előzmény: [2863] Kemény Legény, 2009-01-23 17:45:05
[2863] Kemény Legény2009-01-23 17:45:05

Ha csak az kell, tudok én egyenértékű állításokból is ellenpéldát mutatni. Legyenek 2 háromszög oldalai A,B,C és a,b,c, kerületeik K,k. Állítás: Aa+Bb+Cc\geq \frac{Kk}{3} Egyenértékű ezzel: Ab+Bc+Ca\geq \frac{Kk}{3} Szintén egyenértékű: Ac+Ba+Cb\geq\frac{Kk}{3}

Összeadva a 3 egyenlőtlenséget: a bal oldal (A+B+C)(a+b+c)=Kk azaz valamelyikük igaz, ekkor az "elv" miatt mindhárom igaz.

Ellenpélda: (A=2,B=2,C=3,a=1,b=1,c=0.1,K=7,k=2.1,Aa+Bb+Cc=2+2+0.3=4.3<4.9=Kk/3)

Előzmény: [2862] rizsesz, 2009-01-23 10:55:57
[2862] rizsesz2009-01-23 10:55:57

Én értem ezt a logikai utat. Pontosan ezért kérdeztem rá. Jelen esetben azonban ha akármelyik igaz, az egyenértékű az állítással.

Ezzel szemben az általad adott példában a 3 állítás nem egyenértékű.

Azt is értem, hogy az eredeti állításból nem juthatunk el a + 2 általam felírt egyenlőtlenséghez.

Szóval már majdnem meggyőztél, de még kötözködöm :)

Előzmény: [2861] Kemény Legény, 2009-01-23 10:11:10
[2861] Kemény Legény2009-01-23 10:11:10

Az eredeti "bizonyítás" során a 3 állítás bármelyikének igazolása önmagában elegendő lenne a teljes megoldáshoz, de onnantól kezdve, hogy mindhármat felírtuk egyszerre, akkor már csak azt tudjuk belátni, hogy minden háromszögben valamelyik igaz. Abból pedig, hogy egy állítás egy tetszőleges háromszögben igaz az oldalak/szögek valamilyen sorrendjére, nem következik, hogy minden háromszögben az oldalak/szögek tetszőleges sorrendjére igaz lenne.

Az állítások felírásában valóban nincs kitüntetett szerepe semminek, de amikor találunk egyet a 3 közül, ami igaz, abban már az oldalak/szögek egy kitüntetett sorrendben szerepelnek, és épp ez veszi el az általánosítás lehetőségét.

Előzmény: [2856] rizsesz, 2009-01-23 02:06:57
[2860] rizsesz2009-01-23 09:14:59

Ugyanis ha már az egyik igaz, akkor mivel a szorzók nincsenek meghatározva, így bármilyen formában odapakolhatod őket az oldalak mellé együtthatónak.

Szóval szerintem az én logikám nem alkalmazható az a+b+4c-s példára.

Előzmény: [2858] Valezius, 2009-01-23 06:41:45
[2859] rizsesz2009-01-23 08:59:53

Értem az indoklást, de mégsem :) mármint abba már belenyugodtam, hogy nem jó a bizonyítás, de!

Itt azért jóval többről van szó, mint a ti példátokban! Az állítás, mármint átalakítottam a feladatbelit, azt mondja ki, hogy bármilyen szög-kombinációban igaz ez az állítás. Míg a ti esetekben ti pontosan kihasználjátok, hogy éppen melyik oldalnak adtok 4-es szorzót, és így születik meg az ellenpélda.

Én azt hiszem, hogy mégiscsak jó a bizonyításom.

Előzmény: [2858] Valezius, 2009-01-23 06:41:45
[2858] Valezius2009-01-23 06:41:45

Szép próbálkozás :)

3-ból 1igaz, akkor hiába rendezed át a számokat továbbra is 3-ból 1 lesz igaz, csak egy másik.

pl. a=0, b=3, c=3

a+b>=4, a+c>=4, a+b>=4

persze ha teljesül, hogy a+b+c>=6, akkor legalább az egyik igaz. De ha átrendezed a számokat, akkor továbbra is csak 1marad igaz, nem mind a három.

A lényeg: Abból, hogy felcserélhetők a számok csak az következik, hogy feltehető, hogy a+b>=4. Semmi más. (Mivel ha a+b<4, akkor átrendezem a számokat)

Utolsó kérdésre: 3állatás igazságából következik a negyedik, de fordítva nyilván nem, ha látom, hogy teljesül a 4. akkor mitől lenne igaz az első 3mindegyike? Most erre biztos lehet nagyon primitív példákat gyártani, de remélem így is érted :)

Előzmény: [2856] rizsesz, 2009-01-23 02:06:57
[2856] rizsesz2009-01-23 02:06:57

Igazából pontosan jól látod a problémámat - akkor viszont hol bukik el a dolog, azaz miért nincsen kitüntetett szerepe a másik háromszög szögeinek? (a csak akkort most érzem :) tehát ha az eredeti állítás igaz, akkor a másik kettő is, így az összegük is, viszont az a kérdésem, hogy min múlik a visszafelé?)

Előzmény: [2855] Kemény Legény, 2009-01-22 22:58:59
[2855] Kemény Legény2009-01-22 22:58:59

Ha jó a gondolatmenet, akkor pl. bizonyítható, hogy "minden háromszögben a+b+4c>=2K", hiszen az ehhez hasonló a+4b+c>=2K és 4a+b+c>=2K egyenlőtlenségek összege 6(a+b+c)=6K, azaz vmelyik a 3 egyenlőtlenség közül igaz kell legyen és akkor az "elv" miatt az összes többi is.

/Holott pl. az a=1,b=1,c=0.001 oldalú háromszögben nem igaz az állitás/

Előzmény: [2857] rizsesz, 2009-01-22 15:05:23
[2857] rizsesz2009-01-22 15:05:23

Szerintetek az A.468-ra jó az alábbi megoldás:

A bal oldalon a tagokat az alábbi logika szerint átalakítva: A2*(-a2+b2+c2) - a zárójelben található kifejezés a cos-tétel miatt alakba A2*2bc*cos\alpha írható, ahonnan t=\frac{bcsin\alpha}{2} miatt bc=\frac{2t}{sin\alpha}. Ezt beírva kiemelhető t, ha ezt a logikát követjük mindhárom tagra behelyettesíthető ctg\alpha, és végül 4t-vel osztva azt kapjuk, hogy az állítás az A2*ctg\alpha+B2*ctg\beta+C2*ctg\gamma>=4T

Tekintsük az alábbi 2 további állítást:

A2*ctg\beta+B2*ctg\gamma+C2*ctg\alpha>=4T

A2*ctg\gamma+B2*ctg\alpha+C2*ctg\beta>=4T

Ha ezek közül az egyik teljesül, akkor a másik kettő is, hiszen \alpha, \beta, \gamma között annyi az összefüggés, hogy összegük 180 fok, más megkötést pedig nem generálnak az egyenlőtlenségekben.

Ha tehát ezen 3 összefüggés összege igaz, akkor legalább az egyik igaz (különben indirekten következne, hogy nem teljesülhet az összegként létrejövő egyenlőtlenség).

Viszont ha az egyik igaz, akkor abból logikailag következik, hogy mindhárom igaz, hiszen csak a szögeket kell átrendezni, amit megtehetünk.

A 3 egyenlőtlenség összege: (ctg\alpha+ctg\beta+ctg\gamma)*(A2+B2+C2)>=12T

Ez pedig igaz, mert az első a Jensen-egyenlőtlenség miatt: (ctg\alpha+ctg\beta+ctg\gamma)>=3*(ctg(\alpha+\beta+\gamma)/3)=\sqrt{3}

(A2+B2+C2)>=4*\sqrt{3}*T pedig ismert.

Ez szerintetek jó?

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]    [161]    [162]    [163]    [164]    [165]    [166]    [167]    [168]    [169]    [170]    [171]    [172]    [173]    [174]    [175]    [176]    [177]    [178]    [179]    [180]    [181]    [182]    [183]    [184]    [185]    [186]    [187]    [188]    [189]    [190]    [191]    [192]    [193]    [194]    [195]    [196]    [197]    [198]    [199]    [200]    [201]    [202]    [203]    [204]    [205]    [206]    [207]    [208]    [209]    [210]    [211]    [212]    [213]    [214]    [215]    [216]    [217]    [218]    [219]    [220]    [221]    [222]    [223]    [224]    [225]    [226]    [227]    [228]    [229]    [230]    [231]    [232]    [233]    [234]    [235]    [236]    [237]    [238]    [239]    [240]    [241]    [242]    [243]    [244]    [245]    [246]    [247]    [248]    [249]    [250]    [251]    [252]    [253]    [254]    [255]    [256]    [257]    [258]    [259]    [260]    [261]    [262]    [263]    [264]    [265]    [266]    [267]    [268]    [269]    [270]    [271]    [272]    [273]    [274]    [275]    [276]    [277]    [278]    [279]    [280]    [281]    [282]    [283]    [284]    [285]    [286]    [287]    [288]    [289]    [290]    [291]    [292]    [293]    [294]    [295]    [296]    [297]    [298]    [299]    [300]    [301]    [302]    [303]    [304]    [305]    [306]    [307]    [308]    [309]    [310]    [311]    [312]    [313]    [314]    [315]    [316]    [317]    [318]    [319]    [320]    [321]    [322]    [323]    [324]    [325]    [326]    [327]    [328]    [329]    [330]    [331]    [332]    [333]    [334]    [335]    [336]    [337]    [338]    [339]    [340]    [341]    [342]    [343]    [344]    [345]    [346]    [347]    [348]    [349]    [350]    [351]    [352]    [353]    [354]    [355]    [356]    [357]    [358]    [359]    [360]    [361]    [362]    [363]    [364]    [365]    [366]    [367]    [368]    [369]    [370]    [371]    [372]    [373]    [374]    [375]    [376]    [377]    [378]    [379]    [380]    [381]    [382]    [383]    [384]    [385]    [386]    [387]    [388]    [389]    [390]    [391]    [392]    [393]    [394]    [395]    [396]    [397]    [398]    [399]    [400]    [401]    [402]