Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: Érdekes matekfeladatok

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]    [161]    [162]    [163]    [164]    [165]    [166]    [167]    [168]    [169]    [170]    [171]    [172]    [173]    [174]    [175]    [176]    [177]    [178]    [179]    [180]    [181]    [182]    [183]    [184]    [185]    [186]    [187]    [188]    [189]    [190]    [191]    [192]    [193]    [194]    [195]    [196]    [197]    [198]    [199]    [200]    [201]    [202]    [203]    [204]    [205]    [206]    [207]    [208]    [209]    [210]    [211]    [212]    [213]    [214]    [215]    [216]    [217]    [218]    [219]    [220]    [221]    [222]    [223]    [224]    [225]    [226]    [227]    [228]    [229]    [230]    [231]    [232]    [233]    [234]    [235]    [236]    [237]    [238]    [239]    [240]    [241]    [242]    [243]    [244]    [245]    [246]    [247]    [248]    [249]    [250]    [251]    [252]    [253]    [254]    [255]    [256]    [257]    [258]    [259]    [260]    [261]    [262]    [263]    [264]    [265]    [266]    [267]    [268]    [269]    [270]    [271]    [272]    [273]    [274]    [275]    [276]    [277]    [278]    [279]    [280]    [281]    [282]    [283]    [284]    [285]    [286]    [287]    [288]    [289]    [290]    [291]    [292]    [293]    [294]    [295]    [296]    [297]    [298]    [299]    [300]    [301]    [302]    [303]    [304]    [305]    [306]    [307]    [308]    [309]    [310]    [311]    [312]    [313]    [314]    [315]    [316]    [317]    [318]    [319]    [320]    [321]    [322]    [323]    [324]    [325]    [326]    [327]    [328]    [329]    [330]    [331]    [332]    [333]    [334]    [335]    [336]    [337]    [338]    [339]    [340]    [341]    [342]    [343]    [344]    [345]    [346]    [347]    [348]    [349]    [350]    [351]    [352]    [353]    [354]    [355]    [356]    [357]    [358]    [359]    [360]    [361]    [362]    [363]    [364]    [365]    [366]    [367]    [368]    [369]    [370]    [371]    [372]    [373]    [374]    [375]    [376]    [377]    [378]    [379]    [380]    [381]    [382]    [383]    [384]    [385]    [386]    [387]    [388]    [389]    [390]    [391]    [392]    [393]    [394]    [395]    [396]    [397]    [398]    [399]    [400]    [401]    [402]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[2987] Lóczi Lajos2009-06-21 00:17:51

Az asztroidot egy differenciálegyenlet megoldásaként is megkaphatjuk.

Ha f jelöli a keresett burkológörbét, akkor felírva az "érintőszakaszok pozitív síknegyedbe eső része konstans" feltételt, az alábbi egyenlet adódik:


\left(x-\frac{f(x)}{f'(x)} \right)^2+\left(f(x)-x f'(x)\right)^2={\rm{konstans}}.

Ezt megoldva (és a triviális eseteket eldobva) éppen az asztroid egyenletét kapjuk.

Előzmény: [2985] HoA, 2009-06-19 15:08:04
[2986] leni5362009-06-19 15:52:56

Ennek a burkolónak a neve asztroid. Érdemes megfigyelni, hogy a buszok ajtaja is valahogy hasonlóan nyílik, és mivel az aljukon van egy seprű, ezért a lépcső alján lévő kosznak a burkolója is ugyanez a görbe.

[2985] HoA2009-06-19 15:08:04

Egy mechanikai kapcsolódási pont:

Szerkesszük meg az egységnyi hosszú AB szakasszal ábrázolt létra pillanatnyi forgás középpontját (M) , mint a végpontokban a mozgásirányra (tengely) emelt merőlegesek metszéspontját. M-ből az AB-re bocsátott merőleges talppontja legyen T. Az M körüli elfordulás során az M középpontú, AB-t T-ben érintő k körív elválasztja egymástól a sík létra által súrolt illetve nem súrolt pontjait, T tehát a burkológörbe pontja. Az ábrából

BM=cos\phi;BT=cos2\phi;Tx=u=cos3\phi

és hasonlóan

AM=sin\phi;AT=sin2\phi;Ty=v=sin3\phi

Innen a \phi paramétert kiküszöbölve [2975] képletét kapjuk.

Előzmény: [2976] Lóczi Lajos, 2009-06-17 15:33:27
[2984] jonas2009-06-18 14:19:05

Felrakok azért egy ábrát is a teknősök útvonaláról, csak dísznek.

Előzmény: [2978] jenei.attila, 2009-06-17 20:32:39
[2983] Alma2009-06-18 13:41:26

Látom senki sem írta fel a polárkoordinátás megoldást, és újabb kérdések vetődtek fel, ezért beírom én.

Már az előttem szólók megállapították, hogy a mozgás során szimmetria okokból az eredeti négyzetalak megmarad, csak zsugorodik és elfordul. Jól jellemezhető a rendszer tehát két paraméterrel: az egyik pont középponttól (ez lesz az origó) való r távolságával, ami kezdetben r_0=a/\sqrt{2}, valamint az origóból a pontba mutató vektor \phi szögelfordulásával.

Minden pillanatban a pontok sebességvektorának radiális és tangenciális komponense is \frac{v}{\sqrt2}, ami azt jelenti, hogy a következő differenciálegyenleteket írhatjuk fel a sebesség definíciója alapján: \frac{dr}{dt}=-\frac{v}{\sqrt2} valamint \frac{d\phi}{dt}=\frac{v}{\sqrt2\cdot r}. Az első egyenlet megoldása kezdeti feltétellel:

r=\frac{1}{\sqrt2}\cdot \left(a-vt\right).

Ebből leolvasható, hogy a pontok T=\frac{a}{v} idő mulva találkoznak, vagyis addig a utat tesznek meg.

Ha már eddig leírtam, akkor gyorsan a pályát is levezetem ebből:

A kapott sugár-idő függvényt behelyettesítve a szögre vonatkozó differenciálegyenletre a következőt kapjuk:

\frac{d\phi}{dt}=\frac{v}{a-vt}.

Integrálva az egyenletet, valamint figyelembe véve a kezdeti feltételt \phi= -\ln{\left(1-\frac{vt}{a}\right)}. Az időt kifejezve a pillanatnyi sugárral és behelyettesítve ide megkapjuk a pálya egyenletét:

\phi= -\ln{\left(\frac{\sqrt2\cdot r}{a}\right)}.

Kicsit szebb alakban:

r=\frac{a}{\sqrt2}\cdot e^{-\phi}.

Ez pedig egy logaritmikus spirál.

Előzmény: [2979] Lóczi Lajos, 2009-06-17 22:49:08
[2982] rizsesz2009-06-18 13:03:42

"Ha például azt akarjuk, hogy a kiválasztott teknős t=0-nál az (1;1) pontban legyen, akkor

lambda=1+i kell.

Miért?

Előzmény: [2970] Tibixe, 2009-06-16 22:23:33
[2981] HoA2009-06-18 11:07:29

S. Ákos megoldásának változata: [2973] ábrájáról megállapítjuk, hogy a burkológörbe pontjait a létra egymáshoz közeli helyzeteit képviselő egyenesek metszéspontjai közelítik. Tekinsük két ilyen közeli helyzet egyenesét a talajjal bezárt \phi szöggel paraméterezve

\frac{x}{cos\phi} + \frac{y}{sin\phi} = 1

és

\frac{x}{cos(\phi+\Delta\phi)} + \frac{y}{sin(\phi+\Delta\phi)} = 1

. Az egyenletrendszert x-re megoldva és a \Delta\phi->0 határátmenetet képezve azt kapjuk, hogy x=cos3\phi, amit az első egyenletbe visszahelyettesítve adódik, hogy y=sin3\phi . Ezekből a paramétert kiküszöbölve S. Ákos képletét kapjuk.

Előzmény: [2975] S.Ákos, 2009-06-17 14:47:38
[2980] HoA2009-06-18 09:53:57

Látszik. Érdemes megfigyelni , hogy [2961] ábráján hogyan változik az időközben teknőcökké előlépett pontok által alkotott négyzet oldalhossza, ha azok \Deltax -et lépnek egymás felé. Különösen hasznos ezt összevetni a [2972]-ben említett háromszöges változat esetével. Szabatos-e az ezekből levezetett eredmény a görbe hosszára azon az alapon, hogy mikorra csökken a futópontok által meghatározott négyzet/háromszög oldalhossza 0-ra?

Előzmény: [2979] Lóczi Lajos, 2009-06-17 22:49:08
[2979] Lóczi Lajos2009-06-17 22:49:08

Persze hogy érdekes:) Mennyi?

(Egyáltalán látszik közvetlenül az, hogy véges az út vagy az idő, amíg a teknőcök összeütköznek?)

Előzmény: [2978] jenei.attila, 2009-06-17 20:32:39
[2978] jenei.attila2009-06-17 20:32:39

érdekes kérdés, hogy mekkora utat tesznek meg a pontok, mire a középpontot elérik?

Előzmény: [2961] Lóczi Lajos, 2009-06-16 00:07:09

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]    [161]    [162]    [163]    [164]    [165]    [166]    [167]    [168]    [169]    [170]    [171]    [172]    [173]    [174]    [175]    [176]    [177]    [178]    [179]    [180]    [181]    [182]    [183]    [184]    [185]    [186]    [187]    [188]    [189]    [190]    [191]    [192]    [193]    [194]    [195]    [196]    [197]    [198]    [199]    [200]    [201]    [202]    [203]    [204]    [205]    [206]    [207]    [208]    [209]    [210]    [211]    [212]    [213]    [214]    [215]    [216]    [217]    [218]    [219]    [220]    [221]    [222]    [223]    [224]    [225]    [226]    [227]    [228]    [229]    [230]    [231]    [232]    [233]    [234]    [235]    [236]    [237]    [238]    [239]    [240]    [241]    [242]    [243]    [244]    [245]    [246]    [247]    [248]    [249]    [250]    [251]    [252]    [253]    [254]    [255]    [256]    [257]    [258]    [259]    [260]    [261]    [262]    [263]    [264]    [265]    [266]    [267]    [268]    [269]    [270]    [271]    [272]    [273]    [274]    [275]    [276]    [277]    [278]    [279]    [280]    [281]    [282]    [283]    [284]    [285]    [286]    [287]    [288]    [289]    [290]    [291]    [292]    [293]    [294]    [295]    [296]    [297]    [298]    [299]    [300]    [301]    [302]    [303]    [304]    [305]    [306]    [307]    [308]    [309]    [310]    [311]    [312]    [313]    [314]    [315]    [316]    [317]    [318]    [319]    [320]    [321]    [322]    [323]    [324]    [325]    [326]    [327]    [328]    [329]    [330]    [331]    [332]    [333]    [334]    [335]    [336]    [337]    [338]    [339]    [340]    [341]    [342]    [343]    [344]    [345]    [346]    [347]    [348]    [349]    [350]    [351]    [352]    [353]    [354]    [355]    [356]    [357]    [358]    [359]    [360]    [361]    [362]    [363]    [364]    [365]    [366]    [367]    [368]    [369]    [370]    [371]    [372]    [373]    [374]    [375]    [376]    [377]    [378]    [379]    [380]    [381]    [382]    [383]    [384]    [385]    [386]    [387]    [388]    [389]    [390]    [391]    [392]    [393]    [394]    [395]    [396]    [397]    [398]    [399]    [400]    [401]    [402]