[296] nadorp | 2004-03-26 08:54:52 |
Sziasztok !
Adok egy megoldást a 67. feladatra. A bizonyítás nem elemi, de a feladat alapötlete szerintem innen származik.
Tekintsük a p(x)=abcx3-(ab+ac+bc)x2+(a+b+c)x-1 polinomot. Könnyen látható,hogy miatt a p(x) gyökei az számok. A polinomnak három valós gyöke van, ezért létezik egy lokális maximuma és egy lokális minimuma. Ezeket a szélsőértékeket a polinom az illetve a intervallumokon veszi fel. A szélsőértékek helyeit a p'(x)=0 egyenlet gyökei adják.Viszont a
p'(x)=3abcx2-2(ab+ac+bc)x+(a+b+c)=0 egyenlet gyökei nyilván a
(a+b+c)x2-2(ab+ac+bc)x+3abc=0 egyenlet gyökeinek a reciprokai, ezért ennek az egyenletnek a gyökei az (a,b) illetve (b,c) intervallumokba esnek.
|
|
|
[294] Hajba Károly | 2004-03-26 00:57:49 |
Kedves Csimby!
A 65. feladatnál az alábbi részeredményre jutottam:
A (a+b+c)x2-2(ab+bc+ac)x+3abc=0 egyenletet átrendezve az következő egyenletet kapjuk:
(a-x)(b-x)c+a(b-x)(c-x)+(a-x)b(c-x)=0
a) Ha x<a akkor az összeg mindhárom tagja pozitív lesz, míg ha x>c akkor mindhárom negatív lesz, s ez ellentmondás. Tehát a<x<c.
b) Ha rendre x= a, b, c, akkor az összeg két-két tagja rendre zérus, míg a harmadik nem. Így ez is ellentmondás. Tehát x(a,b,c)
c) Ha a<x<b vagy b<x<c, akkor az összeg 3. tagja mindig negatív, a másik két tag előjele ellentétes, így mindkét tartományban lehetséges gyök; de eddig még nem leltem meg a megoldást, mellyel bizonyíthatnám, hogy két külön tartományba is kell kerülniük. :o(
HK
|
Előzmény: [289] Csimby, 2004-03-24 00:40:29 |
|
[293] Sirpi | 2004-03-25 15:10:41 |
Megjegyzés a 65. feladathoz:
A kitűzésnél 0<x</4 volt, de az állítás igaz (és a bizonyítás is megy) 0<x</2-re. Sőt több is igaz:
Beláttuk, hogy ha x hegyesszög, akkor x legfeljebb a sin x és tg x számtani közepe lehet. Ez viszont igaz számtani helyett harmonikus középre is, amivel élesebb becslést kapunk:
S
|
Előzmény: [292] nadorp, 2004-03-25 13:34:34 |
|
|
[291] lorantfy | 2004-03-24 13:26:07 |
Kedves Zoltán!
Kösz a figyelmeztetést. Neked jobb a memóriád, én nem emlékeztem rá. Ráadásul a megoldásban utalnak az általános megoldhatóság feltételére is. Azért remélem lesz olyan, aki ettől függetlenül megcsinálja.
|
Előzmény: [290] SchZol, 2004-03-24 12:32:51 |
|
|
[289] Csimby | 2004-03-24 00:40:29 |
65.feladat Bizonyítsuk be, hogy ha 0<x</4, akkor x<(tgx + sinx)/2.
66.feladat Bizonyítsuk be, hogy tg 1°, sin 1°, cos 1° irracionális.
67.feladat (a+b+c)x2-2(ab+bc+ac)x+3abc=0 és 0<a<b<c Bizonyítsuk be, hogy az egyenlet egyik gyöke a és b közé a másik pedig b és c közé esik.
A feladatok a Nemzetközi Magyar Matematikai Versenyen voltak kitűzve, úgyhogy aki volt az ismeri a megoldásokat aki nem, annak meg jó szórakozást.
|
|
[288] lorantfy | 2004-03-23 22:56:49 |
Kedves Károly és Fórumosok!
Éppen ideje volt már „földobni” ezt a témát! Ezt a feladatot én is hallottam már többféle változatban, cipókkal, tojásrántottával, de fahasábokkal és spórral még nem. Bennem meleg elmékeket kelt az utóbbi, de sokan szerintem már azt sem tudják mi az. ( Spór = spórhelt = sparhert = takaréktűzhely )
64. feladat: Valaki dombos úton kerékpárral ment A helyről B-be majd ugyanott vissza. Vizszintes úton v = 16 km/h, lefelé u = 24 km/h, felfelé pedig w = 12 km/h sebességgel haladt. Oda-vissza összesen 3 órát kerékpározott. Mekkora az AB távolság?
Akinek ez nagyon könnyű lenne:
64.b feladat: Milyen 60 km/h > u > v > w egész számokra van a feladatnak egyértelmű megoldása?
|
Előzmény: [287] Hajba Károly, 2004-03-22 15:19:25 |
|
[287] Hajba Károly | 2004-03-22 15:19:25 |
Üdv Mindenki!
Felhozandó a Téma bedobok egy ide illő és egyszerű, akár az "Ujjgyakorlatok"-ba is illő 63. feladatot:
Három barátnő főzéshez készül, az egyik 5 db fát, a másik 3 db fát hozzott a spórba és így mindhármójuk megfőzött. A harmadik, mivel nem volt tüzifája, 8 forinttal járult hozzá a tüzifa költségekhez. A másik két barátnő milyen arányban osztozik igazságosan a pénzen?
HK
|
|