[3104] jonas | 2009-12-13 14:36:06 |
 A C függvényről szóló 6. feladat nem nehéz. Könnyű látni, hogy ha n legfeljebb 10n jegyből áll, akkor C(n) legfeljebb 10(n+1) jegyből. Így aztán 30 jegyűnél hosszabb fixpont nem létezhet, tehát kell lennie legnagyobb fixpontnak. Ugyanez részben megoldja az 5. feladatot is, ugyanis azt bizonyítja, hogy minden számból indulva előbb-utóbb olyan ciklusba esünk, amiben minden elem legfeljebb 101030, így a ciklus is legfeljebb ilyen hosszú. Hasonlóan viszont azt is könnyű látni, hogy van tetszőlegesen hosszú átmeneti szakasz, mert ha n legalább 10.10n jegyű, akkor C(n) legalább 1+n jegyű (vagy valami hasonló egyenlőtlenség igaz).
A 3. és 4. feladatot feltehetően kimerítő kereséssel meg lehet válaszolni, kivéve ha valamiért nincsen 2-es ciklus, vagy a legkisebb is nagyon nagy.
|
Előzmény: [3103] Lóczi Lajos, 2009-12-13 01:15:16 |
|
[3103] Lóczi Lajos | 2009-12-13 01:15:16 |
 Következzen végül néhány újabb kérdés és sejtés a C függvény kapcsán, amelyek természetes módon felmerülnek és amelyek között szerintem nehezebbek is vannak. (A saját tippjeimet egyelőre nem írom ide, hogy ne befolyásoljak senkit.)
Egy n szám 2-es ciklus, ha C(n) n, de C(C(n))=n. Hasonlóan definálhatók a k-hosszú ciklusok is.
3. feladat. Melyik az a legkisebb n, amely (a C leképezés iterációja során) előbb-utóbb 2-es ciklust eredményez?
4. feladat. Melyik az a legkisebb n, amely rögtön egy 2-es ciklus egyik tagja?
5. feladat. Igaz-e, hogy minden kezdőértékre a C iteráltjaiból alkotott sorozat előbb-utóbb ciklikussá válik? Ha igen, van-e tetszőlegesen hosszú "átmeneti szakasz", mielőtt a sorozat ciklizálni kezd? Van-e maximális ciklushossz, vagy pedig tetszőlegesen hosszú ciklusok előfordulhatnak?
6. feladat. Igaz-e, hogy C-nek van legnagyobb fixpontja? Ha igen, konkrétan melyik szám az?
A fenti C leképezést egyébként a Conway-féle "look and say" sorozat mintájára gyártottam, csak annál egyszerűbb. A Conway-féle sorozat sok érdekes tulajdonsággal bír, különösen meghökkentő a rá vonatkozó "cosmological theorem".
|
Előzmény: [3096] Lóczi Lajos, 2009-12-12 11:16:37 |
|
[3102] Radián | 2009-12-12 19:41:48 |
 Ha vesszük a hatjegyűeket, ott 3 db különböző számjegy kell szerepeljen. A szám mindegy jegye kisebb az 5-nél. Ha a számok C(n) alakját akarom felírni az alábbi esetek állhatnak fenn:
1.) 4db x 1db y 1db z (a 4-es és 2 db 1-es sorrendje persze más is lehet, 1,4,1 1,1,4.) Tehát a számban biztosan fog szerepelni az 1,4,q számjegyek. 1-esből biztosan kell legyen legalább 2 db a C(n) felírás alapján, így a számban csak 4 db 1-es fordulhat elő, de ekkor nem az 1. ponti lenne a C(n) alak.
2.) 2db x 2db y 2db z Az 1. ponthoz hasonlóan n kellene tartalmazzon 3 db 2-est ,azaz C(n) alakjába kellene legyen egy 3db q alakú rész. Tehát ez az eset sem állhat elő.
3.) 1db x 2db y 3db z (Az 1,2,3 sorrendje más is lehet.) A szám eredeti alakjába tehát kell szerepeljen 1-es 2-es és 3-as, ezzel meg van az összes különböző jegy. Mivel x,y,z nem egyenlő egymással, így 1-esből 2-esből és 3-masból is több mint egy jegy fog szerepelni a számban, tehát nem lehet a C(n) alakja a 3. pontbeli.
|
Előzmény: [3101] Radián, 2009-12-12 19:17:27 |
|
[3101] Radián | 2009-12-12 19:17:27 |
 A négyjegyűeket átfutottam. Egyik se lett jó. Elvileg csak a hatjegyűek között akadhat kisebb, de ezeket nem néztem meg rendesen. 4 jegyűeknél a szám pontosan két különböző számjegyet kell tartalmazzon, ráadásul mindkét jegyből 2-2 db van. E jegyek pedig a 0,1,2 közül kerülhetnek ki. Mivel mindkét jegyből 2-2 db van, ezért a keresett számok csak 2x2x alakúak lehetnek melyek nyilván nem egyenlők a hozzájuk rendelhető C(2x2x)-szel.
|
Előzmény: [3099] Valezius, 2009-12-12 18:07:21 |
|
[3100] Sirpi | 2009-12-12 18:17:40 |
 5 perc alatt összeütöttem rá egy progit, amiből kiderült, hogy ez-e a 2. legkisebb... Annyit mindenesetre elárulok, hogy legfeljebb 8 jegyű megoldás 36 db van.
|
Előzmény: [3099] Valezius, 2009-12-12 18:07:21 |
|
[3099] Valezius | 2009-12-12 18:07:21 |
 Ha 8 jegyűt keresünk, akkor 10-val kell kezdődnie, a 3. jegy 0,1,2 lehet, amiből a 0 nem lehet, de az 1 sem, hisz ez a helyiérték az egyesek számát mutatja. 1021x2yz alakú számok maradtak. x legalább 3. És ekkor kijön, amit írtál. Amiről elhiszem, hogy kisebb, mint az enyém :) Tehát ha van kisebb, akkor az 4 vagy 6 jegyű lehet.
|
Előzmény: [3098] Radián, 2009-12-12 16:12:24 |
|
|
|
[3096] Lóczi Lajos | 2009-12-12 11:16:37 |
 Vezessük be a következő, C-vel jelölt függvényt.
C egy tízes számrendszerbeli pozitív egészhez egy ugyanilyen típusú számot rendel. A számok nem kezdődhetnek 0-val.
Ha n egy pozitív egész, akkor C(n) értéke legyen az a szám, amelyet úgy kapunk, hogy számjegyenként nagyság szerint sorban megszámoljuk, hogy az illető jegyből az n szám összesen hány darabot tartalmaz, ezt leírjuk, majd rögtön utána hozzáírjuk a számjegyet magát, és ezt minden szereplő jegyre megismételjük folytatólagosan leírva.
Például C(2009)=201219, mert 2009-ben (számjegyek szerint növekvő sorrendben) található "2 darab 0", "1 darab 2-es" és "1 darab 9-es".
Egy másik példa: C(31415927)=21121314151719.
Ha valamely számjegy nem szerepel n-ben, azt C nem veszi figyelembe, tehát nem mondunk olyat, hogy pl. "nulla darab egyes".
Egy n szám a C függvénynek fixpontja, ha C(n)=n.
1. feladat: Keressük meg C legkisebb fixpontját.
2. feladat: Keressük meg C második legkisebb fixpontját.
|
|
[3095] bily71 | 2009-12-02 11:59:04 |
 Valószínűleg megbuktatnának :) Nem okoskodok tovább, igazatok van, inkább sokak örömére visszavonulok, nagyon keveset tudok, én itt esetleg csak kérdezhetek, ide nem elég a matek szeretete, itt tényleg zsenik vannak, valóban ez nem az a fórum... Inkább ezt a pár hónapot a felvételire való felkészüléssel kellene töltenem, elvégre sok bepótolni valóm van.
|
Előzmény: [3094] nadorp, 2009-12-02 08:52:48 |
|