Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: Érdekes matekfeladatok

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]    [161]    [162]    [163]    [164]    [165]    [166]    [167]    [168]    [169]    [170]    [171]    [172]    [173]    [174]    [175]    [176]    [177]    [178]    [179]    [180]    [181]    [182]    [183]    [184]    [185]    [186]    [187]    [188]    [189]    [190]    [191]    [192]    [193]    [194]    [195]    [196]    [197]    [198]    [199]    [200]    [201]    [202]    [203]    [204]    [205]    [206]    [207]    [208]    [209]    [210]    [211]    [212]    [213]    [214]    [215]    [216]    [217]    [218]    [219]    [220]    [221]    [222]    [223]    [224]    [225]    [226]    [227]    [228]    [229]    [230]    [231]    [232]    [233]    [234]    [235]    [236]    [237]    [238]    [239]    [240]    [241]    [242]    [243]    [244]    [245]    [246]    [247]    [248]    [249]    [250]    [251]    [252]    [253]    [254]    [255]    [256]    [257]    [258]    [259]    [260]    [261]    [262]    [263]    [264]    [265]    [266]    [267]    [268]    [269]    [270]    [271]    [272]    [273]    [274]    [275]    [276]    [277]    [278]    [279]    [280]    [281]    [282]    [283]    [284]    [285]    [286]    [287]    [288]    [289]    [290]    [291]    [292]    [293]    [294]    [295]    [296]    [297]    [298]    [299]    [300]    [301]    [302]    [303]    [304]    [305]    [306]    [307]    [308]    [309]    [310]    [311]    [312]    [313]    [314]    [315]    [316]    [317]    [318]    [319]    [320]    [321]    [322]    [323]    [324]    [325]    [326]    [327]    [328]    [329]    [330]    [331]    [332]    [333]    [334]    [335]    [336]    [337]    [338]    [339]    [340]    [341]    [342]    [343]    [344]    [345]    [346]    [347]    [348]    [349]    [350]    [351]    [352]    [353]    [354]    [355]    [356]    [357]    [358]    [359]    [360]    [361]    [362]    [363]    [364]    [365]    [366]    [367]    [368]    [369]    [370]    [371]    [372]    [373]    [374]    [375]    [376]    [377]    [378]    [379]    [380]    [381]    [382]    [383]    [384]    [385]    [386]    [387]    [388]    [389]    [390]    [391]    [392]    [393]    [394]    [395]    [396]    [397]    [398]    [399]    [400]    [401]    [402]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[3111] Lóczi Lajos2009-12-18 00:22:57

Ezzel kapcsolatban érdekes volt megfigyelni azt, hogy a legkisebb fixpontok minden számrendszerben csupa egyforma számjegyből állnak. (Vajon ezt a tényt külön be lehetne/lehetett volna látni a konkrét értékek ismerete nélkül?)

Előzmény: [3110] Sirpi, 2009-12-17 12:00:10
[3110] Sirpi2009-12-17 12:00:10

Kicsit átírtam a progit, hogy más számrendszerekkel is menjen. Ezeket találtam a kül. számrendszerekre:

2-es: 111, 1101001

3-as: 22, 10111, 11112, 100101, 2021102, 1011122, 10010122

4-es: 22, 1011112, 1011113, 1111213, 10213223, 10311233, 101112213

5-ös: 22, 10213223, 10311233, 10313314, 21322314, 31123314, 101111x1y (1<x<y), 10111221314

Elvileg ezekre nincs is más megoldás.

10-esre ezek a legfeljebb 8-jegyű megoldások, itt is csak pár sorozat van (3<x<y): 22, 10213223, 10311233, 1031331x, 2132231x, 3112331x, 31331x1y

És ugye igaz, hogy ha van olyan megoldás, ahol minden darabszám egyjegyű, akkor az minden magasabb számrendszerben is megoldás lesz.

[3109] Sirpi2009-12-14 13:09:39

Nem írtam át a progit a 2-es számrendszer kezelésére (amúgy is csak otthon van meg, ezt meg a villamoson agyaltam reggel fejben). De akkor kicsit kipofozom majd.

Előzmény: [3108] jonas, 2009-12-14 11:33:27
[3108] jonas2009-12-14 11:33:27

Érdekes, azt gondoltam, hogy a kettes számrendszerbeli kis megoldásokat számítógéppel könnyen megtalálod. Van pontosan egy kisebb is a 1101001-nél.

Előzmény: [3107] Sirpi, 2009-12-14 09:17:31
[3107] Sirpi2009-12-14 09:17:31

Ez a C függvény más számrendszerek esetén is érdekes lehet. Pl. 2-es számrendszernél szenvedtem egy kicsit, mire összehoztam a 1101001 számot (tudtok még?). Itt ugyanis nem megy a 22, mint legkisebb megoldás, ami minden más számrendszernél működik.

Előzmény: [3096] Lóczi Lajos, 2009-12-12 11:16:37
[3106] Lóczi Lajos2009-12-13 20:41:35

Igen, pont erre én is rátaláltam véletlenül, és 5 perc kísérletezés után sem találtam nagyobbat :)

Előzmény: [3105] jonas, 2009-12-13 15:34:43
[3105] jonas2009-12-13 15:34:43

Egy nagy fixpont például a 101112213141516171819. Azt nem mondom, hogy nincs ennél is nagyobb.

Előzmény: [3103] Lóczi Lajos, 2009-12-13 01:15:16
[3104] jonas2009-12-13 14:36:06

A C függvényről szóló 6. feladat nem nehéz. Könnyű látni, hogy ha n legfeljebb 10n jegyből áll, akkor C(n) legfeljebb 10(n+1) jegyből. Így aztán 30 jegyűnél hosszabb fixpont nem létezhet, tehát kell lennie legnagyobb fixpontnak. Ugyanez részben megoldja az 5. feladatot is, ugyanis azt bizonyítja, hogy minden számból indulva előbb-utóbb olyan ciklusba esünk, amiben minden elem legfeljebb 101030, így a ciklus is legfeljebb ilyen hosszú. Hasonlóan viszont azt is könnyű látni, hogy van tetszőlegesen hosszú átmeneti szakasz, mert ha n legalább 10.10n jegyű, akkor C(n) legalább 1+n jegyű (vagy valami hasonló egyenlőtlenség igaz).

A 3. és 4. feladatot feltehetően kimerítő kereséssel meg lehet válaszolni, kivéve ha valamiért nincsen 2-es ciklus, vagy a legkisebb is nagyon nagy.

Előzmény: [3103] Lóczi Lajos, 2009-12-13 01:15:16
[3103] Lóczi Lajos2009-12-13 01:15:16

Következzen végül néhány újabb kérdés és sejtés a C függvény kapcsán, amelyek természetes módon felmerülnek és amelyek között szerintem nehezebbek is vannak. (A saját tippjeimet egyelőre nem írom ide, hogy ne befolyásoljak senkit.)

Egy n szám 2-es ciklus, ha C(n)\nen, de C(C(n))=n. Hasonlóan definálhatók a k-hosszú ciklusok is.

3. feladat. Melyik az a legkisebb n, amely (a C leképezés iterációja során) előbb-utóbb 2-es ciklust eredményez?

4. feladat. Melyik az a legkisebb n, amely rögtön egy 2-es ciklus egyik tagja?

5. feladat. Igaz-e, hogy minden kezdőértékre a C iteráltjaiból alkotott sorozat előbb-utóbb ciklikussá válik? Ha igen, van-e tetszőlegesen hosszú "átmeneti szakasz", mielőtt a sorozat ciklizálni kezd? Van-e maximális ciklushossz, vagy pedig tetszőlegesen hosszú ciklusok előfordulhatnak?

6. feladat. Igaz-e, hogy C-nek van legnagyobb fixpontja? Ha igen, konkrétan melyik szám az?

A fenti C leképezést egyébként a Conway-féle "look and say" sorozat mintájára gyártottam, csak annál egyszerűbb. A Conway-féle sorozat sok érdekes tulajdonsággal bír, különösen meghökkentő a rá vonatkozó "cosmological theorem".

Előzmény: [3096] Lóczi Lajos, 2009-12-12 11:16:37
[3102] Radián2009-12-12 19:41:48

Ha vesszük a hatjegyűeket, ott 3 db különböző számjegy kell szerepeljen. A szám mindegy jegye kisebb az 5-nél. Ha a számok C(n) alakját akarom felírni az alábbi esetek állhatnak fenn:

1.) 4db x 1db y 1db z (a 4-es és 2 db 1-es sorrendje persze más is lehet, 1,4,1 1,1,4.) Tehát a számban biztosan fog szerepelni az 1,4,q számjegyek. 1-esből biztosan kell legyen legalább 2 db a C(n) felírás alapján, így a számban csak 4 db 1-es fordulhat elő, de ekkor nem az 1. ponti lenne a C(n) alak.

2.) 2db x 2db y 2db z Az 1. ponthoz hasonlóan n kellene tartalmazzon 3 db 2-est ,azaz C(n) alakjába kellene legyen egy 3db q alakú rész. Tehát ez az eset sem állhat elő.

3.) 1db x 2db y 3db z (Az 1,2,3 sorrendje más is lehet.) A szám eredeti alakjába tehát kell szerepeljen 1-es 2-es és 3-as, ezzel meg van az összes különböző jegy. Mivel x,y,z nem egyenlő egymással, így 1-esből 2-esből és 3-masból is több mint egy jegy fog szerepelni a számban, tehát nem lehet a C(n) alakja a 3. pontbeli.

Előzmény: [3101] Radián, 2009-12-12 19:17:27

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]    [161]    [162]    [163]    [164]    [165]    [166]    [167]    [168]    [169]    [170]    [171]    [172]    [173]    [174]    [175]    [176]    [177]    [178]    [179]    [180]    [181]    [182]    [183]    [184]    [185]    [186]    [187]    [188]    [189]    [190]    [191]    [192]    [193]    [194]    [195]    [196]    [197]    [198]    [199]    [200]    [201]    [202]    [203]    [204]    [205]    [206]    [207]    [208]    [209]    [210]    [211]    [212]    [213]    [214]    [215]    [216]    [217]    [218]    [219]    [220]    [221]    [222]    [223]    [224]    [225]    [226]    [227]    [228]    [229]    [230]    [231]    [232]    [233]    [234]    [235]    [236]    [237]    [238]    [239]    [240]    [241]    [242]    [243]    [244]    [245]    [246]    [247]    [248]    [249]    [250]    [251]    [252]    [253]    [254]    [255]    [256]    [257]    [258]    [259]    [260]    [261]    [262]    [263]    [264]    [265]    [266]    [267]    [268]    [269]    [270]    [271]    [272]    [273]    [274]    [275]    [276]    [277]    [278]    [279]    [280]    [281]    [282]    [283]    [284]    [285]    [286]    [287]    [288]    [289]    [290]    [291]    [292]    [293]    [294]    [295]    [296]    [297]    [298]    [299]    [300]    [301]    [302]    [303]    [304]    [305]    [306]    [307]    [308]    [309]    [310]    [311]    [312]    [313]    [314]    [315]    [316]    [317]    [318]    [319]    [320]    [321]    [322]    [323]    [324]    [325]    [326]    [327]    [328]    [329]    [330]    [331]    [332]    [333]    [334]    [335]    [336]    [337]    [338]    [339]    [340]    [341]    [342]    [343]    [344]    [345]    [346]    [347]    [348]    [349]    [350]    [351]    [352]    [353]    [354]    [355]    [356]    [357]    [358]    [359]    [360]    [361]    [362]    [363]    [364]    [365]    [366]    [367]    [368]    [369]    [370]    [371]    [372]    [373]    [374]    [375]    [376]    [377]    [378]    [379]    [380]    [381]    [382]    [383]    [384]    [385]    [386]    [387]    [388]    [389]    [390]    [391]    [392]    [393]    [394]    [395]    [396]    [397]    [398]    [399]    [400]    [401]    [402]