[3111] Lóczi Lajos | 2009-12-18 00:22:57 |
Ezzel kapcsolatban érdekes volt megfigyelni azt, hogy a legkisebb fixpontok minden számrendszerben csupa egyforma számjegyből állnak. (Vajon ezt a tényt külön be lehetne/lehetett volna látni a konkrét értékek ismerete nélkül?)
|
Előzmény: [3110] Sirpi, 2009-12-17 12:00:10 |
|
[3110] Sirpi | 2009-12-17 12:00:10 |
Kicsit átírtam a progit, hogy más számrendszerekkel is menjen. Ezeket találtam a kül. számrendszerekre:
2-es: 111, 1101001
3-as: 22, 10111, 11112, 100101, 2021102, 1011122, 10010122
4-es: 22, 1011112, 1011113, 1111213, 10213223, 10311233, 101112213
5-ös: 22, 10213223, 10311233, 10313314, 21322314, 31123314, 101111x1y (1<x<y), 10111221314
Elvileg ezekre nincs is más megoldás.
10-esre ezek a legfeljebb 8-jegyű megoldások, itt is csak pár sorozat van (3<x<y): 22, 10213223, 10311233, 1031331x, 2132231x, 3112331x, 31331x1y
És ugye igaz, hogy ha van olyan megoldás, ahol minden darabszám egyjegyű, akkor az minden magasabb számrendszerben is megoldás lesz.
|
|
[3109] Sirpi | 2009-12-14 13:09:39 |
Nem írtam át a progit a 2-es számrendszer kezelésére (amúgy is csak otthon van meg, ezt meg a villamoson agyaltam reggel fejben). De akkor kicsit kipofozom majd.
|
Előzmény: [3108] jonas, 2009-12-14 11:33:27 |
|
[3108] jonas | 2009-12-14 11:33:27 |
Érdekes, azt gondoltam, hogy a kettes számrendszerbeli kis megoldásokat számítógéppel könnyen megtalálod. Van pontosan egy kisebb is a 1101001-nél.
|
Előzmény: [3107] Sirpi, 2009-12-14 09:17:31 |
|
[3107] Sirpi | 2009-12-14 09:17:31 |
Ez a C függvény más számrendszerek esetén is érdekes lehet. Pl. 2-es számrendszernél szenvedtem egy kicsit, mire összehoztam a 1101001 számot (tudtok még?). Itt ugyanis nem megy a 22, mint legkisebb megoldás, ami minden más számrendszernél működik.
|
Előzmény: [3096] Lóczi Lajos, 2009-12-12 11:16:37 |
|
|
|
[3104] jonas | 2009-12-13 14:36:06 |
A C függvényről szóló 6. feladat nem nehéz. Könnyű látni, hogy ha n legfeljebb 10n jegyből áll, akkor C(n) legfeljebb 10(n+1) jegyből. Így aztán 30 jegyűnél hosszabb fixpont nem létezhet, tehát kell lennie legnagyobb fixpontnak. Ugyanez részben megoldja az 5. feladatot is, ugyanis azt bizonyítja, hogy minden számból indulva előbb-utóbb olyan ciklusba esünk, amiben minden elem legfeljebb 101030, így a ciklus is legfeljebb ilyen hosszú. Hasonlóan viszont azt is könnyű látni, hogy van tetszőlegesen hosszú átmeneti szakasz, mert ha n legalább 10.10n jegyű, akkor C(n) legalább 1+n jegyű (vagy valami hasonló egyenlőtlenség igaz).
A 3. és 4. feladatot feltehetően kimerítő kereséssel meg lehet válaszolni, kivéve ha valamiért nincsen 2-es ciklus, vagy a legkisebb is nagyon nagy.
|
Előzmény: [3103] Lóczi Lajos, 2009-12-13 01:15:16 |
|
[3103] Lóczi Lajos | 2009-12-13 01:15:16 |
Következzen végül néhány újabb kérdés és sejtés a C függvény kapcsán, amelyek természetes módon felmerülnek és amelyek között szerintem nehezebbek is vannak. (A saját tippjeimet egyelőre nem írom ide, hogy ne befolyásoljak senkit.)
Egy n szám 2-es ciklus, ha C(n)n, de C(C(n))=n. Hasonlóan definálhatók a k-hosszú ciklusok is.
3. feladat. Melyik az a legkisebb n, amely (a C leképezés iterációja során) előbb-utóbb 2-es ciklust eredményez?
4. feladat. Melyik az a legkisebb n, amely rögtön egy 2-es ciklus egyik tagja?
5. feladat. Igaz-e, hogy minden kezdőértékre a C iteráltjaiból alkotott sorozat előbb-utóbb ciklikussá válik? Ha igen, van-e tetszőlegesen hosszú "átmeneti szakasz", mielőtt a sorozat ciklizálni kezd? Van-e maximális ciklushossz, vagy pedig tetszőlegesen hosszú ciklusok előfordulhatnak?
6. feladat. Igaz-e, hogy C-nek van legnagyobb fixpontja? Ha igen, konkrétan melyik szám az?
A fenti C leképezést egyébként a Conway-féle "look and say" sorozat mintájára gyártottam, csak annál egyszerűbb. A Conway-féle sorozat sok érdekes tulajdonsággal bír, különösen meghökkentő a rá vonatkozó "cosmological theorem".
|
Előzmény: [3096] Lóczi Lajos, 2009-12-12 11:16:37 |
|
[3102] Radián | 2009-12-12 19:41:48 |
Ha vesszük a hatjegyűeket, ott 3 db különböző számjegy kell szerepeljen. A szám mindegy jegye kisebb az 5-nél. Ha a számok C(n) alakját akarom felírni az alábbi esetek állhatnak fenn:
1.) 4db x 1db y 1db z (a 4-es és 2 db 1-es sorrendje persze más is lehet, 1,4,1 1,1,4.) Tehát a számban biztosan fog szerepelni az 1,4,q számjegyek. 1-esből biztosan kell legyen legalább 2 db a C(n) felírás alapján, így a számban csak 4 db 1-es fordulhat elő, de ekkor nem az 1. ponti lenne a C(n) alak.
2.) 2db x 2db y 2db z Az 1. ponthoz hasonlóan n kellene tartalmazzon 3 db 2-est ,azaz C(n) alakjába kellene legyen egy 3db q alakú rész. Tehát ez az eset sem állhat elő.
3.) 1db x 2db y 3db z (Az 1,2,3 sorrendje más is lehet.) A szám eredeti alakjába tehát kell szerepeljen 1-es 2-es és 3-as, ezzel meg van az összes különböző jegy. Mivel x,y,z nem egyenlő egymással, így 1-esből 2-esből és 3-masból is több mint egy jegy fog szerepelni a számban, tehát nem lehet a C(n) alakja a 3. pontbeli.
|
Előzmény: [3101] Radián, 2009-12-12 19:17:27 |
|