Fórum: Érdekes matekfeladatok

A (b) kérdésre. Ha minden idomban elhelyezhető egy r sugarú kör, de az egész elrendezést magába foglalja egy R sugarú kör, ahol R/r konstans, akkor nyilván konstans sok idom van, mert több kis kör nem fér el a nagy körben. Így aztán az eredeti kérdést pontosítanod kéne.

Azt kell először eldönteni, hogy ilyen feltétellel konstans sok idommal lehet-e tetszőlegesen nagy minimális lépésszámot elérni. Ha nem szükséges, hogy az idomok összefüggőek legyenek, akkor szerintem lehet.

Azt, hogy “a legkisebb síkidomban elhelyezhető egy r sugarú kör”, úgy érted, hogy minden síkidomban elhelyezhető egy ilyen kör? Mert a legkisebb nem egész egyértelmű.

Pontosan mit értesz mozgatáson? Ha két síkidomom van, az egyik egy egységnégyzet, a másik pedig egy egységnégyzetekből kirakott labirintus (a négyzetek alkotják a falakat), és berakom a kisnégyzetet valahova a labirintus belsejébe, akkor ezt a konfigurációt 1, vagy csak nagyon sok mozgatással tudom szétszedni? Tehát a mozgatás történhet tetszőleges pályán vagy csak egyenesen? Lehet-e forgatni szétszedés közben?

Amúgy valami ilyesmivel biztos el lehet érni exponenciális hosszt.

504.feladat Helyezzünk el n db síkidomot a síkon. Legyen S(n), hogy hány db mozgatással tudjuk őket "szétszedni" (akkor mondjuk, hogy szét vannak szedve, ha 1 eltolással bármely 2 egymástól bármilyen messzire elvihető). Van-e olyan elhelyezés alkalmas síkidomokra, hogy:

a. S(n) n polinomja, de annak eldöntése, hogy szétszedhető-e NP-teljes

b. S(n) nagyságrendje eⁿ. Továbbá a legkisebb síkidomban elhelyezhető egy r sugarú kör, az elhelyezést magában foglalja egy R sugarú kör és R/r konstans (nem függ n-től)

c. n=3, K tetszőleges poz. egész és S(n)>K

A legkisebb olyan kezdőérték, amelyből indulva kettes ciklusba kerülünk, az n=40. (Itt elég 11 lépés.)

Van egyáltalán kettes ciklus? A fórumon szerintem még nem szerepelt.

Csak annyi a lényeges, hogy C(x)=n, (nem érdekes, hogy fixpontnál x=n). Mert akkor n csak nagyon kevés féle szám lehet, konkrétan binomial(d+9,9), ha n legfeljebb d jegyű. Ez d=21-re is csak 14307150 (ha x az hosszabb, mint 21 jegy,akkor C(x)<x, így nem lehet fixpont), ez pedig egy perc alatt végignézhető. Egy gráf is építhető, élnek egy (x,C(x)) felel meg. Hosszabb ciklusok keresése is ugyanígy mehet, tulajdonképpen az összes kört is megkereshetnénk, diszjunkt irányított körök (esetleg kettő hosszúak) és hurokélek uniójára esik szét a gráf, hiszen minden kifok 1 a gráfban. (minden 21-nél hosszabb szám elég sok iteráció után 21-nél rövidebbre esik, így itt is elég ezeket nézni).

Kíváncsi lennék, hogy a fixpontokat milyen egyszerűsítési feltevésekkel/esetszétválasztásokkal/algoritmussal állítottad elő konkrétan.

Találtál esetleg menet közben 2-nél hosszabb ciklust? (Én eddig csak ilyenre bukkantam rá.)

Hopp, csak úgy rákerestem egy tagra a google-al, és az első találat Sloane online adatbázisában levő A047841 sorozat volt. Aszerint is 109 fixpont van.

10-es számrendszerben összesen 109 fixpont van, éspedig:

22,10213223,10311233,10313314,10313315,10313316,10313317,10313318,10313319,21322314, 21322315,21322316,21322317,21322318,21322319,31123314,31123315,31123316,31123317,31123318, 31123319,31331415,31331416,31331417,31331418,31331419,31331516,31331517,31331518,31331519, 31331617,31331618,31331619,31331718,31331719,31331819,1031223314,1031223315,1031223316, 1031223317,1031223318,1031223319,3122331415,3122331416,3122331417,3122331418,3122331419, 3122331516,3122331517,3122331518,3122331519,3122331617,3122331618,3122331619,3122331718, 3122331719,3122331819,10413223241516,10413223241517,10413223241518,10413223241519, 10413223241617,10413223241618,10413223241619,10413223241718,10413223241719,10413223241819, 41322324151617,41322324151618,41322324151619,41322324151718,41322324151719,41322324151819, 41322324161718,41322324161719,41322324161819,41322324171819,1051322314251617, 1051322314251618,1051322314251619,1051322314251718,1051322314251719,1051322314251819, 1051322325161718,1051322325161719,1051322325161819,1051322325171819,5132231425161718, 5132231425161719,5132231425161819,5132231425171819,5132232516171819,106132231415261718, 106132231415261719,106132231415261819,106132231426171819,106132231526171819, 613223141526171819,1011112131415161718,1011112131415161719,1011112131415161819, 1011112131415171819,1011112131416171819,1011112131516171819,1011112141516171819, 1011113141516171819,1111213141516171819,10713223141516271819,101112213141516171819