[309] Hajba Károly | 2004-04-15 07:47:30 |
 70. feladat
Adott egy fehér 4*4-es négyzetrács és 10 db fekete korong. Helyezzük el a korongokat egy-egy négyzetre az alábbi feltételek szerint:
a) minden sorban és oszlopban páros korong legyen.
b) minden sorban és oszlopban páratlan korong legyen.
HK
|
|
[308] Hajba Károly | 2004-04-14 01:37:05 |
 Kedves Sirpi és Csimby!
Köszi a pontosítást, s mivel tetszett a feladat, elmélázatam az általánosításán is. Íme az általános megoldóképlet a maximumértékre, ahol N pozitív egész:
HK
|
Előzmény: [307] Sirpi, 2004-04-12 15:16:43 |
|
[307] Sirpi | 2004-04-12 15:16:43 |
 Valóban a 3668 a maximum, nézzük is, miért.
Tegyük fel, hogy felosztottuk a 2004-et néhány pozitív egész szorzatára.
Ha van a számok közt 1-es, akkor egy másik k számmal összevonva 1.k<1+k miatt növeljük a szorzatot.
Ha van olyan k szám köztük, ami legalább 4, akkor nem rontunk, ha k-t kicseréljük 2.(k-2)-re, sőt, k 4 esetén jav³tunk is.
Így feltehető, hogy csupa 2-es és 3-as tényezőkből áll a szorzat. De mivel 2.2.2<3.3 és 2+2+2=3+3, így legfeljebb 2 db. 2-es lehet az optimális szorzatban. De a 2004 osztható 6-tal, ami miatt a 2-esek száma 3-mal osztható kell legyen. De 0 és 2 közt csak a 0 osztható 3-mal, így az optimális szorzatban 0 db 2-es és 668 db. 3-as kell legyen.
Nem láttam be, de triviális, hogy valóban van maximum...
S
|
Előzmény: [306] Hajba Károly, 2004-04-12 01:45:34 |
|
[306] Hajba Károly | 2004-04-12 01:45:34 |
 Megoldás a 69.feladatra:
Kezdjük el a 2004-et az n N>2 számokkal elosztani és utána képezni az -t. Az Smax-ot az helyen kapjuk, így .
Ültessük most ezt át az egész számokra, azaz a 2004-t osszuk fel 2-es és/vagy 3-as számok összegére. (Várhatóan 738 darabra), majd ezeket összeszorozni. Erre közelítést az alábbi egyenletrendszer megoldásával tehetünk:
2*n+3*m=2004
n+m=738
Innen az S=2210*3528 szám adódik, de érdekes módon nem ez adja a jó megoldást, hanem az S=3668.
HK
Ui: Remélem, jó az elképzelésem, s egyébként kellemes locsolkodást mindenkinek :o)
|
Előzmény: [305] Csimby, 2004-04-11 21:48:22 |
|
[305] Csimby | 2004-04-11 21:48:22 |
 69.feladat Számítsuk ki olyan pozitív egész számok szorzatának maximumát, amelyek összege 2004.
|
|
[304] Sirpi | 2004-04-09 10:05:59 |
 Ezt a feladatot nem ismertem, viszont némi agyalás után rájöttem, hogy a feladat nem más, mint egy többdimenziós Mérgezett csoki játék. Ez alapján az a válasz, hogy ha n 1, akkor az első játékosnak van nyerő stratégiája (viszont ezt a stratégiát nem lehet megadni, általánosan csupán egzisztenciabizonyítás adható).
Ezután a bevezető után nem is lőnem le (teljesen :-) ) a megoldást, de leírom, hogy mi is az a 2 dimenziós Mérgezett csoki játék:
Van egy n×m méretű csokink, melynek a bal felső kockája mérgezett, valamint egy L alakú késünk, mellyel a csoki rácsai mentén vághatunk. A kést csak úgy forgathatjuk, hogy a levágandó rész jobb alulra essen. A 2 játékos felváltva vág a csokiból, és amit levágnak, azt meg is eszik. Az veszít, akinek a mérgezett kiskocka marad.
Innen már csak azt kell kitalálni, hogy a 2 feladatnak mi köze van egymáshoz, és miért nyer (majdnem) mindig az A játékos...
Remélem, sikerült mindenkit kellően összezavarnom :-)
Könnyű pótfeladat:
a) adjuk meg a nyerő stratégiát, ha a csoki 2×n-es
b) ha n×n-es
Sirpi
|
Előzmény: [303] Csimby, 2004-04-04 23:25:47 |
|
[303] Csimby | 2004-04-04 23:25:47 |
 Talán van aki nemismeri:
68. feladat A és B a következő játékot játszák: Kiindulnak egy adott N számból és felváltva mondják N-nek egy-egy osztóját, úgy hogy senki sem mondhat olyan osztót ami az eddig elhangzott osztók egyikének osztója. Az a játékos veszít aki már csak N-et tudja mondani. Mikor, kinek van nyerő stratégiája?
|
|
|
|
|