Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: Érdekes matekfeladatok

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]    [161]    [162]    [163]    [164]    [165]    [166]    [167]    [168]    [169]    [170]    [171]    [172]    [173]    [174]    [175]    [176]    [177]    [178]    [179]    [180]    [181]    [182]    [183]    [184]    [185]    [186]    [187]    [188]    [189]    [190]    [191]    [192]    [193]    [194]    [195]    [196]    [197]    [198]    [199]    [200]    [201]    [202]    [203]    [204]    [205]    [206]    [207]    [208]    [209]    [210]    [211]    [212]    [213]    [214]    [215]    [216]    [217]    [218]    [219]    [220]    [221]    [222]    [223]    [224]    [225]    [226]    [227]    [228]    [229]    [230]    [231]    [232]    [233]    [234]    [235]    [236]    [237]    [238]    [239]    [240]    [241]    [242]    [243]    [244]    [245]    [246]    [247]    [248]    [249]    [250]    [251]    [252]    [253]    [254]    [255]    [256]    [257]    [258]    [259]    [260]    [261]    [262]    [263]    [264]    [265]    [266]    [267]    [268]    [269]    [270]    [271]    [272]    [273]    [274]    [275]    [276]    [277]    [278]    [279]    [280]    [281]    [282]    [283]    [284]    [285]    [286]    [287]    [288]    [289]    [290]    [291]    [292]    [293]    [294]    [295]    [296]    [297]    [298]    [299]    [300]    [301]    [302]    [303]    [304]    [305]    [306]    [307]    [308]    [309]    [310]    [311]    [312]    [313]    [314]    [315]    [316]    [317]    [318]    [319]    [320]    [321]    [322]    [323]    [324]    [325]    [326]    [327]    [328]    [329]    [330]    [331]    [332]    [333]    [334]    [335]    [336]    [337]    [338]    [339]    [340]    [341]    [342]    [343]    [344]    [345]    [346]    [347]    [348]    [349]    [350]    [351]    [352]    [353]    [354]    [355]    [356]    [357]    [358]    [359]    [360]    [361]    [362]    [363]    [364]    [365]    [366]    [367]    [368]    [369]    [370]    [371]    [372]    [373]    [374]    [375]    [376]    [377]    [378]    [379]    [380]    [381]    [382]    [383]    [384]    [385]    [386]    [387]    [388]    [389]    [390]    [391]    [392]    [393]    [394]    [395]    [396]    [397]    [398]    [399]    [400]    [401]    [402]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[311] Hajba Károly2004-04-15 13:05:26

Kedves László!

Fürge vagy és gondolatolvasó. Ti. ezek lettek volna a következő kérdéseim. Továbbá az, hogy létezik-e aszimmetrikus megoldás valamely esetben?

HK

Előzmény: [310] lorantfy, 2004-04-15 12:54:58
[310] lorantfy2004-04-15 12:54:58

70. feladat megoldása: Egyenlőre csak beraktam a korongokat a négyzetrácsba. Most még ki kéne találni hány megoldás van! Aztán általánosítani nxn-es rácsra és k<n2 korongra. Mikor oldható meg egyáltalán?

Előzmény: [309] Hajba Károly, 2004-04-15 07:47:30
[309] Hajba Károly2004-04-15 07:47:30

70. feladat

Adott egy fehér 4*4-es négyzetrács és 10 db fekete korong. Helyezzük el a korongokat egy-egy négyzetre az alábbi feltételek szerint:

a) minden sorban és oszlopban páros korong legyen.

b) minden sorban és oszlopban páratlan korong legyen.

HK

[308] Hajba Károly2004-04-14 01:37:05

Kedves Sirpi és Csimby!

Köszi a pontosítást, s mivel tetszett a feladat, elmélázatam az általánosításán is. Íme az általános megoldóképlet a maximumértékre, ahol N pozitív egész:

f(N)=3^{\Big[\frac{N-2}{3}\Big]}*\Big(2+3*\Big\{\frac{N-2}{3}\Big\}\Big)

HK

Előzmény: [307] Sirpi, 2004-04-12 15:16:43
[307] Sirpi2004-04-12 15:16:43

Valóban a 3668 a maximum, nézzük is, miért.

Tegyük fel, hogy felosztottuk a 2004-et néhány pozitív egész szorzatára.

Ha van a számok közt 1-es, akkor egy másik k számmal összevonva 1.k<1+k miatt növeljük a szorzatot.

Ha van olyan k szám köztük, ami legalább 4, akkor nem rontunk, ha k-t kicseréljük 2.(k-2)-re, sőt, k\neq4 esetén jav³tunk is.

Így feltehető, hogy csupa 2-es és 3-as tényezőkből áll a szorzat. De mivel 2.2.2<3.3 és 2+2+2=3+3, így legfeljebb 2 db. 2-es lehet az optimális szorzatban. De a 2004 osztható 6-tal, ami miatt a 2-esek száma 3-mal osztható kell legyen. De 0 és 2 közt csak a 0 osztható 3-mal, így az optimális szorzatban 0 db 2-es és 668 db. 3-as kell legyen.

Nem láttam be, de triviális, hogy valóban van maximum...

S

Előzmény: [306] Hajba Károly, 2004-04-12 01:45:34
[306] Hajba Károly2004-04-12 01:45:34

Megoldás a 69.feladatra:

Kezdjük el a 2004-et az n\inN>2 számokkal elosztani és utána képezni az S=\bigg(\frac{2004}{n}\bigg)^n-t. Az Smax-ot az n\approx\frac{2004}{e} helyen kapjuk, így S_{max} \approx e^\frac{2004}{e}.

Ültessük most ezt át az egész számokra, azaz a 2004-t osszuk fel 2-es és/vagy 3-as számok összegére. (Várhatóan 738 darabra), majd ezeket összeszorozni. Erre közelítést az alábbi egyenletrendszer megoldásával tehetünk:

2*n+3*m=2004

n+m=738

Innen az S=2210*3528 szám adódik, de érdekes módon nem ez adja a jó megoldást, hanem az S=3668.

HK

Ui: Remélem, jó az elképzelésem, s egyébként kellemes locsolkodást mindenkinek :o)

Előzmény: [305] Csimby, 2004-04-11 21:48:22
[305] Csimby2004-04-11 21:48:22

69.feladat Számítsuk ki olyan pozitív egész számok szorzatának maximumát, amelyek összege 2004.

[304] Sirpi2004-04-09 10:05:59

Ezt a feladatot nem ismertem, viszont némi agyalás után rájöttem, hogy a feladat nem más, mint egy többdimenziós Mérgezett csoki játék. Ez alapján az a válasz, hogy ha n\neq1, akkor az első játékosnak van nyerő stratégiája (viszont ezt a stratégiát nem lehet megadni, általánosan csupán egzisztenciabizonyítás adható).

Ezután a bevezető után nem is lőnem le (teljesen :-) ) a megoldást, de leírom, hogy mi is az a 2 dimenziós Mérgezett csoki játék:

Van egy n×m méretű csokink, melynek a bal felső kockája mérgezett, valamint egy L alakú késünk, mellyel a csoki rácsai mentén vághatunk. A kést csak úgy forgathatjuk, hogy a levágandó rész jobb alulra essen. A 2 játékos felváltva vág a csokiból, és amit levágnak, azt meg is eszik. Az veszít, akinek a mérgezett kiskocka marad.

Innen már csak azt kell kitalálni, hogy a 2 feladatnak mi köze van egymáshoz, és miért nyer (majdnem) mindig az A játékos...

Remélem, sikerült mindenkit kellően összezavarnom :-)

Könnyű pótfeladat:

a) adjuk meg a nyerő stratégiát, ha a csoki 2×n-es

b) ha n×n-es

Sirpi

Előzmény: [303] Csimby, 2004-04-04 23:25:47
[303] Csimby2004-04-04 23:25:47

Talán van aki nemismeri:

68. feladat A és B a következő játékot játszák: Kiindulnak egy adott N számból és felváltva mondják N-nek egy-egy osztóját, úgy hogy senki sem mondhat olyan osztót ami az eddig elhangzott osztók egyikének osztója. Az a játékos veszít aki már csak N-et tudja mondani. Mikor, kinek van nyerő stratégiája?

[302] Gubbubu2004-03-27 09:33:59

300=12+2.122, azaz 300=\sum_{i=1}^{2}i\cdot{}12^i, vagyis az S_n=\sum_{i=1}^ni\cdot{}12^i sorozat második tagja.

Előzmény: [301] Gubbubu, 2004-03-27 09:23:41

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]    [161]    [162]    [163]    [164]    [165]    [166]    [167]    [168]    [169]    [170]    [171]    [172]    [173]    [174]    [175]    [176]    [177]    [178]    [179]    [180]    [181]    [182]    [183]    [184]    [185]    [186]    [187]    [188]    [189]    [190]    [191]    [192]    [193]    [194]    [195]    [196]    [197]    [198]    [199]    [200]    [201]    [202]    [203]    [204]    [205]    [206]    [207]    [208]    [209]    [210]    [211]    [212]    [213]    [214]    [215]    [216]    [217]    [218]    [219]    [220]    [221]    [222]    [223]    [224]    [225]    [226]    [227]    [228]    [229]    [230]    [231]    [232]    [233]    [234]    [235]    [236]    [237]    [238]    [239]    [240]    [241]    [242]    [243]    [244]    [245]    [246]    [247]    [248]    [249]    [250]    [251]    [252]    [253]    [254]    [255]    [256]    [257]    [258]    [259]    [260]    [261]    [262]    [263]    [264]    [265]    [266]    [267]    [268]    [269]    [270]    [271]    [272]    [273]    [274]    [275]    [276]    [277]    [278]    [279]    [280]    [281]    [282]    [283]    [284]    [285]    [286]    [287]    [288]    [289]    [290]    [291]    [292]    [293]    [294]    [295]    [296]    [297]    [298]    [299]    [300]    [301]    [302]    [303]    [304]    [305]    [306]    [307]    [308]    [309]    [310]    [311]    [312]    [313]    [314]    [315]    [316]    [317]    [318]    [319]    [320]    [321]    [322]    [323]    [324]    [325]    [326]    [327]    [328]    [329]    [330]    [331]    [332]    [333]    [334]    [335]    [336]    [337]    [338]    [339]    [340]    [341]    [342]    [343]    [344]    [345]    [346]    [347]    [348]    [349]    [350]    [351]    [352]    [353]    [354]    [355]    [356]    [357]    [358]    [359]    [360]    [361]    [362]    [363]    [364]    [365]    [366]    [367]    [368]    [369]    [370]    [371]    [372]    [373]    [374]    [375]    [376]    [377]    [378]    [379]    [380]    [381]    [382]    [383]    [384]    [385]    [386]    [387]    [388]    [389]    [390]    [391]    [392]    [393]    [394]    [395]    [396]    [397]    [398]    [399]    [400]    [401]    [402]