Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: Érdekes matekfeladatok

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]    [161]    [162]    [163]    [164]    [165]    [166]    [167]    [168]    [169]    [170]    [171]    [172]    [173]    [174]    [175]    [176]    [177]    [178]    [179]    [180]    [181]    [182]    [183]    [184]    [185]    [186]    [187]    [188]    [189]    [190]    [191]    [192]    [193]    [194]    [195]    [196]    [197]    [198]    [199]    [200]    [201]    [202]    [203]    [204]    [205]    [206]    [207]    [208]    [209]    [210]    [211]    [212]    [213]    [214]    [215]    [216]    [217]    [218]    [219]    [220]    [221]    [222]    [223]    [224]    [225]    [226]    [227]    [228]    [229]    [230]    [231]    [232]    [233]    [234]    [235]    [236]    [237]    [238]    [239]    [240]    [241]    [242]    [243]    [244]    [245]    [246]    [247]    [248]    [249]    [250]    [251]    [252]    [253]    [254]    [255]    [256]    [257]    [258]    [259]    [260]    [261]    [262]    [263]    [264]    [265]    [266]    [267]    [268]    [269]    [270]    [271]    [272]    [273]    [274]    [275]    [276]    [277]    [278]    [279]    [280]    [281]    [282]    [283]    [284]    [285]    [286]    [287]    [288]    [289]    [290]    [291]    [292]    [293]    [294]    [295]    [296]    [297]    [298]    [299]    [300]    [301]    [302]    [303]    [304]    [305]    [306]    [307]    [308]    [309]    [310]    [311]    [312]    [313]    [314]    [315]    [316]    [317]    [318]    [319]    [320]    [321]    [322]    [323]    [324]    [325]    [326]    [327]    [328]    [329]    [330]    [331]    [332]    [333]    [334]    [335]    [336]    [337]    [338]    [339]    [340]    [341]    [342]    [343]    [344]    [345]    [346]    [347]    [348]    [349]    [350]    [351]    [352]    [353]    [354]    [355]    [356]    [357]    [358]    [359]    [360]    [361]    [362]    [363]    [364]    [365]    [366]    [367]    [368]    [369]    [370]    [371]    [372]    [373]    [374]    [375]    [376]    [377]    [378]    [379]    [380]    [381]    [382]    [383]    [384]    [385]    [386]    [387]    [388]    [389]    [390]    [391]    [392]    [393]    [394]    [395]    [396]    [397]    [398]    [399]    [400]    [401]    [402]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[3186] Róbert Gida2010-02-01 17:11:09

"Az előbb felsorolt tulajdonságok ismertek, bizonyításukat most mellőzhetjük."

Életemben nem hallottam, hogy valaki is latin négyzetekkel próbálná bebizonyítani a Wilson tételt. Ne tartsd magadban!

Előzmény: [3185] bily71, 2010-02-01 15:41:23
[3185] bily712010-02-01 15:41:23

Wilson szerint (p-1)!\equivp-1(mod p), ha p prím.

Tekintsük a p számrendszerbeli szorzótáblát. Ha a 0-át kihagyjuk, azaz a számokat csak 1-től p-1-ig szorozzuk össze, akkor a táblázat i-edik oszlopának j-edik eleme aij\equivi.j(mod p).

Ebből következik, hogy i!\equivaij(mod p), ahol j\equiv(i-1)!(mod p).

A táblázat, mivel p prím, egy latin négyzet, amely nem tartalmazza a 0-át és középpontosan szimmetrikus, azaz aij\equiva(p-i)(p-j)(mod p), továbbá tengelyesen is szimmetrikus oly módon, hogy aij\equivp-a(p-i)j(mod p). Az előbb felsorolt tulajdonságok ismertek, bizonyításukat most mellőzhetjük.

A fenti szimmetriákból és a (p-n)!\equiv\frac{(p-1)!}{(n-1)!}(-1)^{n-1}(\mod{p}) összefüggésből adódik, hogy (p-1)!\equivp-1(mod p), tehát ez egy speciális eset.

Előzmény: [3184] Fálesz Mihály, 2010-02-01 12:04:48
[3184] Fálesz Mihály2010-02-01 12:04:48

Úgy látom, kezdenek forrósodni a kedélyek...

Szóval,

(p-1)!=(p-n)!.(p-n+1)(p-n+2)...(p-1)\equiv(p-n)!.(-n+1)(-n+2)...(-1)=(p-n)!.(-1)n-1(n-1)! (mod  p),

és persze egyszerűsíthetünk bármivel, ami nem osztható p-vel.

De hol van ebben a Wilson-tétel?

[3183] Róbert Gida2010-02-01 11:46:39

Akarom mondani szerinte speciális esete a Wilson tétel, ha k=0. No comment.

Előzmény: [3182] Róbert Gida, 2010-02-01 11:43:16
[3182] Róbert Gida2010-02-01 11:43:16

Halál ismert példa, k=n-1 jelöléssel és osztással azt állítja a feladat, hogy \binom {p-1}{k} \equiv {(-1)}^k (\mod p). Ami például Graham Konkrét matematika című könyvében az 5. fejezet 5. példája. És szerinte ez k=0-ra spec. esete a Wilson tételnek. Egy túróst.

Előzmény: [3179] Maga Péter, 2010-02-01 08:11:25
[3181] bily712010-02-01 09:43:04

Saját! Ez az első "igazán komoly tételem", amit bizonyítanom is sikerült.:)

Ezzel a képlettel felgyorsítható a Wilson-teszt, hisz nem kell p-2 darab szorzást elvégezni, de még így is lassúbb, mint a naív módszer.

Előzmény: [3179] Maga Péter, 2010-02-01 08:11:25
[3180] Maga Péter2010-02-01 08:13:58

Nemhogy kellene, de ott is van:)..., nem olvastam el a zárójeles részt.

Előzmény: [3179] Maga Péter, 2010-02-01 08:11:25
[3179] Maga Péter2010-02-01 08:11:25

Ez ügyes volt! Láttad valahol, vagy saját találmány? Talán kellene még az n\leqp feltétel.

Előzmény: [3175] bily71, 2010-01-30 14:11:17
[3178] bily712010-01-31 11:10:16

Ennek egy speciális esete a Wilson-tétel, ahol n=1,

ekkor (p-1)!\equiv\frac{(p-1)!}{(1-1)!}(-1)^{1-1}(\mod{p}),

mivel 0!=1 és (-1)0=1, ezért (p-1)!\equiv\frac{(p-1)!}{1}1\equiv{p-1}(\mod{p}).

Előzmény: [3177] m2mm, 2010-01-30 21:31:38
[3177] m2mm2010-01-30 21:31:38

((n-1)!,p)=1 ,azaz (p-n)!\equiv \frac{(p-1)!}{(n-1)!}(-1)^{n-1} <=> (p-n)!(n-1)!\equiv(p-1)!(-1)n-1 (mod p).

(p-n)!(n-1)!\equiv(-n)(-n-1)(-n-2)...(-p+1)(n-1)!=(-1)p-n(p-1)! (mod p). Tehát (-1)p-n(p-1)!\equiv(p-1)!(-1)n-1-et kell bizonyítani (mod p). Osztva (p-1)!-ral(mely rel. prím p-vel) (-1)p-n\equiv(-1)n-1-et kell igazolni.

Ha p=2, akkor n csak 1 lehet, ekkor mindkét oldal -1, ekkor az áll. igaz.

Ha p nem 2, akkor páratlan: p-n\equivn-1 (mod 2), (-1)p-n\equiv(-1)n-1. Tehát igaz állításod.

Előzmény: [3175] bily71, 2010-01-30 14:11:17

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]    [161]    [162]    [163]    [164]    [165]    [166]    [167]    [168]    [169]    [170]    [171]    [172]    [173]    [174]    [175]    [176]    [177]    [178]    [179]    [180]    [181]    [182]    [183]    [184]    [185]    [186]    [187]    [188]    [189]    [190]    [191]    [192]    [193]    [194]    [195]    [196]    [197]    [198]    [199]    [200]    [201]    [202]    [203]    [204]    [205]    [206]    [207]    [208]    [209]    [210]    [211]    [212]    [213]    [214]    [215]    [216]    [217]    [218]    [219]    [220]    [221]    [222]    [223]    [224]    [225]    [226]    [227]    [228]    [229]    [230]    [231]    [232]    [233]    [234]    [235]    [236]    [237]    [238]    [239]    [240]    [241]    [242]    [243]    [244]    [245]    [246]    [247]    [248]    [249]    [250]    [251]    [252]    [253]    [254]    [255]    [256]    [257]    [258]    [259]    [260]    [261]    [262]    [263]    [264]    [265]    [266]    [267]    [268]    [269]    [270]    [271]    [272]    [273]    [274]    [275]    [276]    [277]    [278]    [279]    [280]    [281]    [282]    [283]    [284]    [285]    [286]    [287]    [288]    [289]    [290]    [291]    [292]    [293]    [294]    [295]    [296]    [297]    [298]    [299]    [300]    [301]    [302]    [303]    [304]    [305]    [306]    [307]    [308]    [309]    [310]    [311]    [312]    [313]    [314]    [315]    [316]    [317]    [318]    [319]    [320]    [321]    [322]    [323]    [324]    [325]    [326]    [327]    [328]    [329]    [330]    [331]    [332]    [333]    [334]    [335]    [336]    [337]    [338]    [339]    [340]    [341]    [342]    [343]    [344]    [345]    [346]    [347]    [348]    [349]    [350]    [351]    [352]    [353]    [354]    [355]    [356]    [357]    [358]    [359]    [360]    [361]    [362]    [363]    [364]    [365]    [366]    [367]    [368]    [369]    [370]    [371]    [372]    [373]    [374]    [375]    [376]    [377]    [378]    [379]    [380]    [381]    [382]    [383]    [384]    [385]    [386]    [387]    [388]    [389]    [390]    [391]    [392]    [393]    [394]    [395]    [396]    [397]    [398]    [399]    [400]    [401]    [402]