Fórum: Érdekes matekfeladatok

[1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232] [233] [234] [235] [236] [237] [238] [239] [240] [241] [242] [243] [244] [245] [246] [247] [248] [249] [250] [251] [252] [253] [254] [255] [256] [257] [258] [259] [260] [261] [262] [263] [264] [265] [266] [267] [268] [269] [270] [271] [272] [273] [274] [275] [276] [277] [278] [279] [280] [281] [282] [283] [284] [285] [286] [287] [288] [289] [290] [291] [292] [293] [294] [295] [296] [297] [298] [299] [300] [301] [302] [303] [304] [305] [306] [307] [308] [309] [310] [311] [312] [313] [314] [315] [316] [317] [318] [319] [320] [321] [322] [323] [324] [325] [326] [327] [328] [329] [330] [331] [332] [333] [334] [335] [336] [337] [338] [339] [340] [341] [342] [343] [344] [345] [346] [347] [348] [349] [350] [351] [352] [353] [354] [355] [356] [357] [358] [359] [360] [361] [362] [363] [364] [365] [366] [367] [368] [369] [370] [371] [372] [373] [374] [375] [376] [377] [378] [379] [380] [381] [382] [383] [384] [385] [386] [387] [388] [389] [390] [391] [392] [393] [394] [395] [396] [397] [398] [399] [400] [401] [402]

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.

[3202] lgdt	2010-02-05 22:43:09
Az $\alpha$ :=1 választás megoldja a mindkét feladatot egyszerre, nem? :)
Előzmény: [3201] sakkmath, 2010-02-05 15:18:09

[3201] sakkmath

2010-02-05 15:18:09

Lehet, hogy ez túlságosan ismert feladat, ezért beírom a következőt is, amely a Nehezebb matematikai problémák /[652]-ben már szerepelt, de azóta sem érkezett rá teljes értékű megoldás:

Legyen $f(x, y, z):= (x - z)y^\alpha + (y - x)z^\alpha + (z - y)x^\alpha$ , ahol 0 $\le$ x $\le$ y $\le$ z és $\alpha$ $\ge$ 0. Határozzuk meg az $\alpha$ paraméter értékét úgy, hogy

a) f(x, y, z) $\ge$ 0,

b) f(x, y, z) $\le$ 0

teljesüljön.

Előzmény: [3200] sakkmath, 2010-02-04 16:40:13

[3200] sakkmath

2010-02-04 16:40:13

Bizonyítsuk be, hogy ha a > 0, b > 0, c > 0, akkor

$\left. a^3(a - b)(a - c) + b^3(b - c)(b - a) + c^3 (c - a)(c - b\right.)\ge 0$ .

Mikor áll fenn egyenlőség?

Előzmény: [3199] sakkmath, 2010-02-04 09:17:41

[3199] sakkmath	2010-02-04 09:17:41
Ez valóban nehezebb volt (legalábbis nekem), az előzőhöz képest. (Hamarosan én is felteszek egy tematikus feladatot.) A [3196]-os megoldása:

Előzmény: [3196] m2mm, 2010-02-02 17:15:01

[3198] Róbert Gida	2010-02-02 19:54:34
Nyelvtanból jobb vagy nálam.
Előzmény: [3195] bily71, 2010-02-02 14:23:40

[3196] m2mm

2010-02-02 17:15:01

Szép megoldás, enyémnél biztosan szebb. Egy egy fokkal nehezebb:

Bizonyítsuk be, hogy ha a,b,c valós számok, akkor

a⁴+b⁴+c⁴+3(a²b²+b²c²+c²a²) $\ge$ 2(a³b+b³c+c³a+ab³+bc³+ca³)

Előzmény: [3193] sakkmath, 2010-02-02 13:59:56

[3195] bily71	2010-02-02 14:23:40
Robi! Nézz utána, milyen, írásba nem foglalható jelentéseket hordozhat az idézőjel. Az öniróniáról hallottál már?
Előzmény: [3192] Róbert Gida, 2010-02-02 00:10:01

[3194] bily71

2010-02-02 14:06:58

Ha nem, hát nem.

Átnézem mégegyszer, hogy rájöjjek, hol hibáztam. Egyébként nem az n=1 behelyettesítésre gondoltam. [3185]-ben megadtam egy rekurzív eljárást: i! $\equiv$ a_ij(mod p), ahol j $\equiv$ (i-1)!mod p). Nekem hirtelen úgy tűnt, hogy a rekurzió miatt (p-1)!-nek nincs más lehetősége, mint kongruensnek lenni p-1-gyel modulo p.

Lehet, hogy lefelejtettem egy felkiáltójelet?:)

Előzmény: [3188] m2mm, 2010-02-01 21:13:36

[3193] sakkmath

2010-02-02 13:59:56

0 $\le$ (a+b-c)²(a-b)²+(b+c-a)²(b-c)²+(c+a-b)²(c-a)²=

=2(ab²c+abc²+a²bc+a⁴+b⁴+c⁴-a³b-a³c-ab³-ac³-b³c-bc³).

2-vel elosztjuk az egyenlőtlenséget, majd jobb oldalon az első három tagból kiemelünk abc-vel és kapjuk:

0 $\le$ abc(a+b+c)+a⁴+b⁴+c⁴-(a³b+a³c+ab³+ac³+b³c+bc³). Az abc=1 behelyettesítése után a kívánt egyenlőtlenség adódik. Végig azonos átalakításokat alkalmaztunk.

Előzmény: [3189] m2mm, 2010-02-01 21:32:17

[3192] Róbert Gida

2010-02-02 00:10:01

Igen, de én nem írtam olyanokat, hogy "igazán komoly tételem", sőt azt írtam az én feladatomra, hogy "Ezt könnyű igazolni". De valóban írhattad volna rá, hogy halálismert, az sem zavart volna.

"Nem ugattalak le, pedig én utána érdemben(!) hozzá tudtam szólni a dologhoz (ez most rólad nem mondható el)."

Ja, kb. 18 éve megvan Szalay Mihály számelmélet könyve ( 7 forintba került) Shapiro karakteres bizonyításával. Erre is mondhatnám, hogy halálismert.

Előzmény: [3190] Maga Péter, 2010-02-01 21:37:30

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?