Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: Érdekes matekfeladatok

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]    [161]    [162]    [163]    [164]    [165]    [166]    [167]    [168]    [169]    [170]    [171]    [172]    [173]    [174]    [175]    [176]    [177]    [178]    [179]    [180]    [181]    [182]    [183]    [184]    [185]    [186]    [187]    [188]    [189]    [190]    [191]    [192]    [193]    [194]    [195]    [196]    [197]    [198]    [199]    [200]    [201]    [202]    [203]    [204]    [205]    [206]    [207]    [208]    [209]    [210]    [211]    [212]    [213]    [214]    [215]    [216]    [217]    [218]    [219]    [220]    [221]    [222]    [223]    [224]    [225]    [226]    [227]    [228]    [229]    [230]    [231]    [232]    [233]    [234]    [235]    [236]    [237]    [238]    [239]    [240]    [241]    [242]    [243]    [244]    [245]    [246]    [247]    [248]    [249]    [250]    [251]    [252]    [253]    [254]    [255]    [256]    [257]    [258]    [259]    [260]    [261]    [262]    [263]    [264]    [265]    [266]    [267]    [268]    [269]    [270]    [271]    [272]    [273]    [274]    [275]    [276]    [277]    [278]    [279]    [280]    [281]    [282]    [283]    [284]    [285]    [286]    [287]    [288]    [289]    [290]    [291]    [292]    [293]    [294]    [295]    [296]    [297]    [298]    [299]    [300]    [301]    [302]    [303]    [304]    [305]    [306]    [307]    [308]    [309]    [310]    [311]    [312]    [313]    [314]    [315]    [316]    [317]    [318]    [319]    [320]    [321]    [322]    [323]    [324]    [325]    [326]    [327]    [328]    [329]    [330]    [331]    [332]    [333]    [334]    [335]    [336]    [337]    [338]    [339]    [340]    [341]    [342]    [343]    [344]    [345]    [346]    [347]    [348]    [349]    [350]    [351]    [352]    [353]    [354]    [355]    [356]    [357]    [358]    [359]    [360]    [361]    [362]    [363]    [364]    [365]    [366]    [367]    [368]    [369]    [370]    [371]    [372]    [373]    [374]    [375]    [376]    [377]    [378]    [379]    [380]    [381]    [382]    [383]    [384]    [385]    [386]    [387]    [388]    [389]    [390]    [391]    [392]    [393]    [394]    [395]    [396]    [397]    [398]    [399]    [400]    [401]    [402]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[3232] bily712010-02-11 13:01:12

Valóban elegánsabb megfogalmazás.

Előzmény: [3230] Róbert Gida, 2010-02-10 22:46:58
[3231] bily712010-02-11 12:49:08

Ha életedben nem hallottad, hogy a latin négyzetek segítségével a Wilson-tétel bizonyítható, ez bizonyára érdekes lesz számodra, és legalább nem "halál ismert", legalábbis általad, (itt most az idézőjel nem iróniát, hanem tényleges idézést jelöl).

Legyen p\inP, azaz prím. Képezzünk p maradékosztályaiból, a 0-át kihagyva szorzótáblát. Ekkor a táblázat latin négyzet, ezt már [3187]-ben beláttuk.

Ennek az a következménye, hogy minden a-hoz létezik egy, és csakis egy b szám, hogy

ab\equiv1(mod p),

ahol a és b p egy-egy maradékosztálya.

Az a=b csak a=1, vagy a=p-1 esetén fordulhat elő, minden más esetben a\neb, ugyanis, ha

a2\equiv1(mod p),

akkor

a2-1\equiv0(mod p),

de akkor p nem lehet prím, mert

a2-1=(a-1)(a+1)\equiv0(mod p).

Ennek az a következménye, hogy az 1<a<p-1 maradékosztályok párokba rendezhetőek, így lesz \frac{p-3}{2} darab olyan számpárunk, hogy

aibj\equiv1(mod p).

Ezeket a számpárokat helyettesíthetjük 1-gyel, így a következőt kapjuk:

(p-1)!=1.2.3...(p-3)(p-2)(p-1)=1.1...1.1(p-1)\equivp-1(mod p).

Q.E.D.

Előzmény: [3186] Róbert Gida, 2010-02-01 17:11:09
[3230] Róbert Gida2010-02-10 22:46:58

Igazán nem kötekedés akar lenni, de jobban szeretik úgy mondani, hogy p legyen páratlan prím.

Előzmény: [3216] bily71, 2010-02-07 22:31:14
[3229] lgdt2010-02-10 19:49:40

úgy értem, konvex

Előzmény: [3228] lgdt, 2010-02-10 19:46:38
[3228] lgdt2010-02-10 19:46:38

Látom, már megoldódott. Lehet, hogy senkit nem érdekel, de azért leírom, hogy hogyan jutottam megoldáshoz az undorítóan bonyolult gondolatmenetemmel:

Mivel f(\alpha) folytonos, ha \alpha>1-re lehetne negatív, akkor 0 is lenne valahol, azaz a determináns harmadik sorát ki lehetne hozni az első kettő \lambda1-gyel és \lambda2-vel súlyozott lineáris kombinációjaként. Ez pedig azt jelentené, hogy a t^\alpha függvényt három helyen is metszené a \lambda1+\lambda2t egyenes, ami - ahogy neked is ezen múlott - a függvény konkáv volta miatt nem lehetséges.

Előzmény: [3225] Ali, 2010-02-09 11:14:23
[3226] Fálesz Mihály2010-02-10 10:41:39

Még egy apróság, ami tanulságos lehet.

Legyen az egyszerűség kedvéért 0<x<y<z, és legyen p(t)=at2+bt+c az a másodfokú polinom, amire p(x)=x^\alpha, p(y)=y^\alpha és p(z)=z^\alpha.

a=?

Előzmény: [3227] Fálesz Mihály, 2010-02-10 10:34:19
[3227] Fálesz Mihály2010-02-10 10:34:19

A derivált használatát el lehet kerülni.

Ha az x,y,z számok különbözők, akkor


(x-z)y^\alpha + (y-x)z^\alpha + (z-y)x^\alpha =
(y-x) (z-y) \left(\frac{z^\alpha-y^\alpha}{z-y} -
\frac{y^\alpha-x^\alpha}{y-x}\right).

Ha \alpha\ge1 vagy \alpha\le0, akkor a t\mapsto t^\alpha függvény konvex, tehát az utolsó tényező nemnegatív.

Ha 0\le\alpha\le1, akkor t\mapsto t^\alpha konkáv, és az utolsó tényező nempozitív.

(Ez lényegében ugyanaz, mint Ali megoldása.)

 

Egy kapcsolódó KöMaL feladat itt olvasható.

Előzmény: [3225] Ali, 2010-02-09 11:14:23
[3225] Ali2010-02-09 11:14:23

Ha \alpha > 1, akkor f \ge 0, ha 0 < \alpha < 1, akkor f \le 0. Ha pedig \alpha =0 vagy =1, akkor f=0. Ha x=0, akkor triviális.

Legyen y=ux, z=vy=uvx. Feltehető tehát, hogy x > 0, u,v > 1

f(x, y, z):= (x - z)y^\alpha + (y - x)z^\alpha + (z - y)x^\alpha = x^{\alpha+1}u^\alpha(u-1)(v-1)(\frac{u^{1-\alpha}-1}{u-1}+\frac{v^\alpha-1}{v-1}-1)

Ismert, hogy konvex és differenciálható g fv-re \frac{g(t)-g(s)}{t-s} \ge g'(s), ahol t > s. Ha g konkáv, akkor az ellenkező irányú egyenlőtlenség áll fenn. Legyen g(x):=xa.

g konvex, ha a>1, illetve a<0, konkáv, ha 0<a<1. Ezért ha \alpha > 1, akkor \frac{u^{1-\alpha}-1}{u-1}+\frac{v^\alpha-1}{v-1}-1 \ge 1-\alpha + \alpha -1 = 0. Ha pedig 0 < \alpha < 1, akkor \frac{u^{1-\alpha}-1}{u-1}+\frac{v^\alpha-1}{v-1}-1 \le 1-\alpha + \alpha -1 = 0.

f-re is ugyanez igaz, mivel x^{\alpha+1}u^\alpha(u-1)(v-1) > 0.

Előzmény: [3201] sakkmath, 2010-02-05 15:18:09
[3224] Sirpi2010-02-08 22:11:17

Igazad van, elkapkodtam. És először én is Euler-Fermat-t írtam, csak nem mentette el a hsz-t, másodszorra meg már nem sikerült.

Előzmény: [3223] Róbert Gida, 2010-02-08 22:02:04
[3223] Róbert Gida2010-02-08 22:02:04

n=2,p=5-re nem igaz a kongruenciád. Ahhoz, hogy jó legyen \varphi(p)-1 kell a kitevőbe, továbbá p lehet páros is. És persze ezt nem p prím esetén Euler-Fermat tételnek hívják, és nem kis-Fermat tételnek.

Előzmény: [3221] Sirpi, 2010-02-08 10:52:51

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]    [161]    [162]    [163]    [164]    [165]    [166]    [167]    [168]    [169]    [170]    [171]    [172]    [173]    [174]    [175]    [176]    [177]    [178]    [179]    [180]    [181]    [182]    [183]    [184]    [185]    [186]    [187]    [188]    [189]    [190]    [191]    [192]    [193]    [194]    [195]    [196]    [197]    [198]    [199]    [200]    [201]    [202]    [203]    [204]    [205]    [206]    [207]    [208]    [209]    [210]    [211]    [212]    [213]    [214]    [215]    [216]    [217]    [218]    [219]    [220]    [221]    [222]    [223]    [224]    [225]    [226]    [227]    [228]    [229]    [230]    [231]    [232]    [233]    [234]    [235]    [236]    [237]    [238]    [239]    [240]    [241]    [242]    [243]    [244]    [245]    [246]    [247]    [248]    [249]    [250]    [251]    [252]    [253]    [254]    [255]    [256]    [257]    [258]    [259]    [260]    [261]    [262]    [263]    [264]    [265]    [266]    [267]    [268]    [269]    [270]    [271]    [272]    [273]    [274]    [275]    [276]    [277]    [278]    [279]    [280]    [281]    [282]    [283]    [284]    [285]    [286]    [287]    [288]    [289]    [290]    [291]    [292]    [293]    [294]    [295]    [296]    [297]    [298]    [299]    [300]    [301]    [302]    [303]    [304]    [305]    [306]    [307]    [308]    [309]    [310]    [311]    [312]    [313]    [314]    [315]    [316]    [317]    [318]    [319]    [320]    [321]    [322]    [323]    [324]    [325]    [326]    [327]    [328]    [329]    [330]    [331]    [332]    [333]    [334]    [335]    [336]    [337]    [338]    [339]    [340]    [341]    [342]    [343]    [344]    [345]    [346]    [347]    [348]    [349]    [350]    [351]    [352]    [353]    [354]    [355]    [356]    [357]    [358]    [359]    [360]    [361]    [362]    [363]    [364]    [365]    [366]    [367]    [368]    [369]    [370]    [371]    [372]    [373]    [374]    [375]    [376]    [377]    [378]    [379]    [380]    [381]    [382]    [383]    [384]    [385]    [386]    [387]    [388]    [389]    [390]    [391]    [392]    [393]    [394]    [395]    [396]    [397]    [398]    [399]    [400]    [401]    [402]