|
|
|
[3282] Kós Géza | 2010-07-11 20:17:08 |
 Az idei matekolimpián az 5. feladat volt a legérdekesebb, szerintem érdemes itt is megbeszélni.
506. feladat (IMO2010/5). A B1,B2,B3,B4,B5,B6 dobozok mindegyikében kezdetben egy érme van. Kétféle megengedett lépés van:
1. típusú lépés: Választunk egy Bj nemüres dobozt, ahol 1 j 5. Elveszünk egy érmét a Bj dobozból, és hozzáadunk két érmét a Bj+1 dobozhoz.
2. típusú lépés: Választunk egy Bk nemüres dobozt, ahol 1 k 4. Elveszünk egy érmét a Bk dobozból, és kicseréljük a Bk+1 (esetleg üres) doboz tartalmát a Bk+2 (esetleg üres) doboz tartalmával.
Állapítsuk meg, hogy ilyen lépések valamilyen véges sorozata segítségével elérhető-e, hogy a B1, B2, B3, B4, B5 dobozok mindegyike üres legyen, a B6 doboz pedig pontosan 201020102010 érmét tartalmazzon. (Definíció szerint abc=a(bc).)
|
|
[3281] jonas | 2010-05-12 23:13:41 |
 gabor7987 feladata a Valaki monja meg! téma 1024. hozzászólásában annyira megtetszett, hogy föladtam egy nehezebb változatát az idei BME matematika versenyen. A feladat így szól.
505. feladat. Adott két 1-nél nagyobb egész szám: m és n. Bizonyítsuk be, hogy csak véges sok n-edik hatvány áll elő mn egymás utáni egész szám n-edik hatványának az összegeként.
Próbáljátok meg megoldani. Köszönet gabor7987-nak az ötletért, jenei.attilának a megoldás ötletéért, valamint Horváth Miklósnak amiért évek óta fáradhatatlanul szervezi a versenyt.
|
|
[3280] HoA | 2010-04-30 10:42:01 |
 Tájékozódásul vizsgáljuk a felület metszetét sorra az x=0, y=0, x=y , x= -y síkokkal. A kapott függvények:
f1=y4–y2=y2(y2–1) zérushelyei -1, 0, 1 , a függvény jellegét az origó környezetében az 1. ábra mutatja. Tehát ebben az irányban itt lokális maximum van.
f2=x4–x2=x2(x2–1) hasonló f1 -hez.
f3 : Legyen x=y=t . f3=2t4–4t2=2t2(t2–2) jellegében megegyezik az előzőekkel, csak a zérushelyek itt ( )
f4 : Legyen x= -y = t . f4=2t4–2t2+2t2=2t4 A metszetgörbe jellege a 2. ábra szerinti, ebben az irányban lokális minimum van. A felületnek tehát az origó nyeregpontja. Általánosabb eredményt kapunk, ha áttérünk polárkoordinátákra. x=rcos ,y=rsin helyettesítéssel
g(r, )=r4(cos4 +sin4 )–r2(cos +sin )2 Az r szerinti deriváltak az origóban Ez általában negatív és az 1. ábra szerinti viselkedést indokolja. A kivétel éppen az x = -y eset, ekkor a második tag eltünik, és így még a harmadik derivált is nulla. A negyedik derivált pozitív volta adja a 2. ábra szerinti metszetet. Összefoglalásként megállapíthatjuk, hogy az origó ennek a függvénynek egy különleges nyeregpontja, egy irányban lokális minimum, az összes többiben lokális maximum.
Hátha valaki folytatja e,césv vektorok elemzésével.
|
 |
Előzmény: [3279] Lóczi Lajos, 2010-04-23 23:34:25 |
|
[3279] Lóczi Lajos | 2010-04-23 23:34:25 |
 (Szélsőérték szempontjából) milyen típusú pontja az f(x,y):=x4-x2-2xy+y4-y2 felületnek az origó?
|
|
[3278] HoA | 2010-04-23 17:38:03 |
 Gondolatébresztőnek kezdjük az általános esettel, a térkép hasonlatnál maradva legyen az origó felett közönséges domboldal. Ekkor a szintvonal két irányába mutat v1=v0 és v2=-v0 és ezekre merőleges a gradiens, e=g és c=-g . ( A minusz jelek nálam nem igazán jól látszanak. ) Érdekesebbek a speciális terepalakulatok - csúcs , nyereg, töbör .
|
Előzmény: [3277] Lóczi Lajos, 2010-04-17 14:04:34 |
|
[3277] Lóczi Lajos | 2010-04-17 14:04:34 |
 A térbeli x-y-z koordinátarendszerben tekintsünk egy sima "domborzati térképet" az x-y alapsík fölött, azaz legyen adott egy f:R2 R deriválható függvény. Tekintsük az alapsíkban az összes origó kezdőpontú egységvektort, és jelöljük meg ezek közül mindazokat az e, c és v vektorokat, amelyek irányában az f felület origó fölötti f(0) pontjában rendre: legmeredekebb az emelkedés, legnagyobb a csökkenés, illetve a pontbeli adott irányú érintőegyenes vízszintes.
Milyen összefüggések állapíthatók meg az e, c és v vektorok között?
|
|
[3276] Tóbi | 2010-04-14 15:35:35 |
 Vegyük az egyenlőtlenség logaritmusát. k*log(a)=<L*log(b)<k*log(a)+log(2) Tulajdonképpen itt log(b) olyan többszörösét keressük, amit maradékosan osztva log(a)-val, a maradék legfeljebb log(2) lesz. Amennyiben log(a)/log(b) racionális a maradék 0 is lehet, ha irracionális, tetszőlegesen megközelíti a 0-t, így log(2) alá is megy.
|
Előzmény: [3272] m2mm, 2010-04-13 23:21:09 |
|