Fórum: Érdekes matekfeladatok

Bizonyítjuk be, hogy a egyenletnek véges sok megoldása van, ha xN!

Szerintem elég egyszerűen kijön, hogy ha 0t1, akkor ha a, b, c oldalakból szerkeszthető háromszög, akkor az a^t, b^t, c^t oldalakból is, egyéb t értékekre pedig van ellenpélda.

Ha 0t1, akkor abc-ből következik, hogy a^tb^tc^t, ezért elég megmutatni, hogy c<a+b-ből következik, hogy c^t<a^t+b^t. Mivel c<a+b, így ezt leosztva c^1-t-vel:

tehát valóban c^t<a^t+b^t.

Ha t>1, akkor elég kis epszilonra az 1,1,2- oldalú háromszög megfelelő, viszont az 1^t,1^t,(2-)^t-re már nem teljesül a háromszög-egyenlőtlenség, mert (2-)^t>2.

Amúgy a t<0 is hasonlóan érdekes eset, arra is van egyszerű ellenpélda (ha elég kicsi, akkor ,1,1 megfelelő háromszög, de ^t>2).

Ha minden igaz, megvan a felső korlát: n1 Most csupán eredményt közlök, levezetni sem olyan nehéz, mint gondoltam. Azonban az alsó korlát megkeresése már nehezebb lesz úgy vélem. (Legalábbis bizonyítani biztosan az lesz, ha megsejtettük a számot.)

A 2 feladat hasonló, de nem ugyanaz.

B. 3936. Milyen feltételeknek kell teljesülni az a,b,c valós számokra ahhoz, hogy minden n természetes számra létezzék olyan háromszög, amelynek az oldalai aⁿ,bⁿ és cⁿ?

Az én feladatom pediog a következő volt: Igaz-e, hogy ha a,b és c oldalakból szerkeszthető (sík)háromszög, akkor aⁿ,bⁿ és a cⁿ oldalakból is szerkeszthető háromszög, ha nR\R^-? Ez könnyen elmondható, hogy nem igaz, hiszen példának vehetjük a 3 4 és 5 egység hosszúságú oldalakkal rendelkező háromszöget. Ez a példa azért is speciális, mert n=2 esetén megkapjuk az oldalak közti összefüggést: 3²+4²=5² (De egyébként pithagoraszi számhármasnál ezt tapasztalhatjuk. Összefoglalva ez a feladat azért más a B.3936-hoz képest, mert itt meg kell keresnünk azokat az n számokat, melyekre igaz lesz, hogy az aⁿ,bⁿ és cⁿ hosszúságú szakaszokl szerkeszthető háromszög. n=1 és jó eset, de ez nem zárja ki a többi eset létezését. Mivel a probléma egyre jobban érdekel, ezért én is nekiállok a feladatnak mostantól. Bár van egy olyan sejtésem, hogy ez nem egy egyszerű probléma, na de majd meglátjuk.

ugyanez volt már B-pontversenyben (B.3936)

Teljesen általánosan is felvetődhet a kérdés: Tehát ha a,b és c oldalakból szerkeszthető (sík)háromszög, akkor aⁿ,bⁿ és a cⁿ oldalakból is szerkeszthető háromszög, ha nR\R^-.? A válasz nem, de jó feladatnak tűnik - elsőre - megkeresni az n lehetséges értékeit.

Igaz.

Úgy látom, kicsit beállt a téma, ezért jöjjön egy könnyebb feladat (valószínűleg nem én fedeztem fel, de felmerült bennem tegnap hazafelé):

507. feladat: Igaz-e, hogy ha az a, b, c oldalakból szerkeszthető háromszög, akkor a , , oldalakból is?

Szerintem ezt a feladatot nem csak itt, hanem odaát is érdemes megbeszélni.

Az idei matekolimpián az 5. feladat volt a legérdekesebb, szerintem érdemes itt is megbeszélni.

506. feladat (IMO2010/5). A B₁,B₂,B₃,B₄,B₅,B₆ dobozok mindegyikében kezdetben egy érme van. Kétféle megengedett lépés van:

1. típusú lépés: Választunk egy B_j nemüres dobozt, ahol 1j5. Elveszünk egy érmét a B_j dobozból, és hozzáadunk két érmét a B_j+1 dobozhoz.

2. típusú lépés: Választunk egy B_k nemüres dobozt, ahol 1k4. Elveszünk egy érmét a B_k dobozból, és kicseréljük a B_k+1 (esetleg üres) doboz tartalmát a B_k+2 (esetleg üres) doboz tartalmával.

Állapítsuk meg, hogy ilyen lépések valamilyen véges sorozata segítségével elérhető-e, hogy a B₁, B₂, B₃, B₄, B₅ dobozok mindegyike üres legyen, a B₆ doboz pedig pontosan 2010^20102010 érmét tartalmazzon. (Definíció szerint a^bc=a^(bc).)