[3436] bily71 | 2011-04-16 18:39:10 |
Az 524. feladat átfogalmazva:
Egy szabályos 12 szögbe rajzoljunk úgy 5 szögeket, hogy az ötszög csúcsait a 12 szög csúcsaiból választjuk ki úgy, hogy ne legyen köztük két szomszédos.
Megoldás:
Tehát van 5 kiválasztott csúcsunk és minden szomszédos kiválasztott csúcs közé legalább egy nem kiválasztott csúcs esik. A 12 szög csúcsait megszámozva 3 lényegesen különböző kiválasztás lehetséges, melyek forgatással nem vihetők egymásba: 1,3,5,7,9; 1,3,5,7,10; 1,3,6,8,10. Ha ezeket a szabályos 12 szög középpontja körül k/6-tal elforgatjuk, ahol k=1,2,...,11, megkapjuk az összes olyan 5 szöget, mely kielégíti a fenti feltételeket, ilyen 5 szögből tehát 3.12=36 van, vagyis a király 36 féleképp tud kiválasztani 5 lovagot úgy, hogy ne legyen köztük haragos.
|
Előzmény: [3435] lorantfy, 2011-04-16 11:34:52 |
|
[3435] lorantfy | 2011-04-16 11:34:52 |
524.feladat
Arthur király kerekasztalánál 12 lovag foglal helyet. Minden lovagnak két haragosa van, a két szomszédja. Hányféleképpen tud a király kiválasztani közülük 5 lovagot úgy, hogy ne legyenek köztük haragosok? (Medve matematika verseny)
|
|
|
|
|
[3431] Róbert Gida | 2011-02-18 16:31:25 |
f(x,0)=g(x)h(0) és f(0,y)=g(0)h(y), innen, ha teljesül a feltétel és g(0)h(0)0, akkor , azaz f(x,y)=Cf(x,0)f(0,y), ahol C konstans. Megfordítva, ha ez utóbbi feltétel teljesül, akkor van alkalmas g,h függvényünk: g(x)=Cf(x,0) és h(y)=f(0,y)
|
Előzmény: [3428] Lóczi Lajos, 2011-02-12 04:02:26 |
|
|
|
[3428] Lóczi Lajos | 2011-02-12 04:02:26 |
Adjunk (minél egyszerűbb és jól kezelhető) feltételt arra nézve, hogy egy f kétváltozós függvény mikor áll elő f(x,y)=g(x)h(y) alakban, alkalmas egyváltozós g és h függvényekkel.
|
|
[3427] jonas | 2011-01-26 21:43:17 |
Az 513. feladathoz először lássunk be egy rekurziót az U mátrix elemeire. Ez a C mátrixnál segített, tehát gondolhatjuk, hogy itt is beválik. Az összefüggés az lesz, hogy
un+1,k=2un,k-1-un-1,k
feltéve, hogy 1k. A k=0 esetre egyszerűen un+1,k=un-1,k. Ez egyszerűen abból következik, hogy a másodfajú Csebisev-polinomokra igaz a következő rekurzió.
Un+1(x)=2xUn(x)-Un-1(x)
Lássuk be ez utóbbit. Helyettesítsünk be x=cos -t. (Hogy így esetleg nem minden x kapható meg, az lényegtelen, mert mindkét oldal polinom, tehát elég csak egy intervallumon belátni, hogy egyenlők.) Szorozzuk meg mindkét oldalt sin -val. Így a következő azonosságot kell belátnunk.
sin ((n+2))=2cos sin ((n+1))-sin (n)
Ehhez pedig csak használjuk a sin (+)=sin cos +sin cos képletet. Valóban:
sin ((n+2))=cos (2)sin (n)+sin (2)cos (n)=(-1+2cos2)sin (n)+2sin cos cos (n)=
=2cos (sin cos (n)+cos sin (n))-sin (n)=2cos sin ((n+1))-sin (n).
Innen már megpróbálhatjátok ti kitalálni az 513. bizonyítását – az eredményt megsejteni könnyű, csak ki kell számolni kis értékekre.
|
Előzmény: [3368] jonas, 2010-11-23 22:19:07 |
|