Fórum: Érdekes matekfeladatok

Az én számolásomból mellesleg az is látszik, hogy a két vektor nem mindig ellentétes irányú, hanem lehet azonos irányú is. Pontosabban ha az (a×b)c hármas szorzat pozitív, akkor ellentétes irányúak, különben azonos irányúak.

Elmondom akkor az én megoldásomat.

Az ilyen feladatokat sokszor meg lehet oldani úgy, hogy formális átalakításokat végzünk a vektoriális szorzat és a skaláris szorzat azonosságait használva. Ezt a Reiman: A geometria és határterületei könyv 2. fejezete szépen elmagyarázza.

Ha ez nem segít, akkor utána kifejthetjük koordinátánként az összes kifejezést. Ezzel elvileg az összes hasonló feladatot meg tudjuk oldani mechanikusan, mivel a koordináták polinomjait kapjuk. Csakhogy ez a megoldás egy bonyolultabb feladatra kézzel nagyon körülményes lehet, tehát mindenképp érdemes megpróbálkozni először ezekkel a vektor azonosságokkal egyszerűsíteni a feladatot.

A teljesség kedvéért hadd soroljam föl itt az azonosságokat, azokat is, amiket most nem használok. Tetszőleges x,y,z,w térbeli vektorokra és , valós számokra igazak a következők.

A skaláris szorzat lineáris.

(x)y=x(y)=(xy),

(x+y)z=xz+yz,

x(y+z)=xy+xz.

A skaláris szorzat kommutatív.

xy=yx.

A vektoriális szorzat lineáris.

(x)×y=x×(y)=(x×y),

(x+y)×z=x×z+y×z,

x×(y+z)=x×y+x×z.

A vektoriális szorzat negatív kommutatív.

x×y=-(y×x).

Egy vektor vektoriális szorzata egy párhuzamos vektorral a nullvektor.

x×(x)=0.

A hármas szorzat kétféleképp írható.

(x×y)z=x(y×z).

Ennek speciális esete, hogy a vektoriális szorzat skaláris szorzata az egyik tényezőjével nulla.

(x×y)y=0,

(x×y)x=0,

x(x×y)=0,

y(x×y)=0.

A hármas szorzat negatív kommutatív (ez ugyan a fentiekből levezethető).

(x×y)z=(y×z)x=(z×x)y=-(x×z)y=-(z×y)x=-(y×x)z.

A dupla vektoriális szorzat kifejtési tétele.

(x×y)×z=(xz)y-(yz)x,

x×(y×z)=(xz)y-(xy)z

Végül ezekből levezethető két vektoriális szorzat skaláris szorzatának kifejtése.

(x×y)(z×w)=(xz)(yw)-(xw)(yz).

* * *

A hosszú bevezető után végre jöjjön [3486] egyszerű bizonyítása.

Vezessük be a d=(a×b) jelölést. Vegyük észre, hogy ad=a(a×b)=0.

A feladat szerint azt kell belátnunk, hogy (d×(a×c))×d párhuzamos a d×a vektorral. Alkalmazzuk a belső vektoriális szorzatra a kifejtési tételt, majd a külső vektoriális szorzatra a linearitást.

(d×(a×c))×d=((cd)a-(ad)c)×d=((cd)a)×d-((ad)c)×d=

=(cd)(a×d)-(ad)(c×d)=(cd)(a×d)=-(cd)(d×a).

Szerencsére pont az ad skaláris szorzat jött be, ami nulla. Tehát azt kaptuk, hogy a bonyolult kifejezés a d×a skalárszorosa, tehát párhuzamos vele.

Nyüzsögnek itt a fiatalok és alig várják, hogy megoldhassanak egy példát :-).

Az utóbbi vektor a-ra és (axb)-re merőleges. Az első nyilván merőleges (axb)-re, hiszen ez az utolsó szorzó tényező, így már csak azt kell belátni, hogy a-ra is merőleges.

Az (axb) és (axc) szorzatok mindegyike merőleges a-ra ,így az a-ra merőleges síkban vannak, tehát keresztszorzatuk a-val párhuzamos vektor, így a végső szorzat a-ra is merőleges lesz.

A gyorsan összeütött ábrán (elnézést érte!) az is látható, ami Jonas számolásából is látszik, hogy ellentétes irányúak.

Mondok egy hasonló, de kicsit nehezebb feladatot. Ez egy ismert geometriai tétel analitikus köntösben.

532. feladat. Legyen a,b,c,e,f öt térbeli vektor. Legyen

r=((a×e)×(b×f))×c,

s=((b×e)×(c×f))×a,

t=((c×e)×(a×f))×b.

Lássuk be, hogy az r,s,t vektorok lineárisan összefüggők.

Úgy látom nem is kell számolni, fejben gyorsan végig lehet gondolni az egészet. (Viszont és is hagyom a fiatalabbakat kibontakozni)

Az ilyen polinom egyenlőségeket először mindig érdemes kipróbálni néhány véletlen bemenetre. Tegyünk egy ilyen próbát.

Legyen mondjuk

a=(93,92,71),

b=(-35,51,49),

c=(-40,-29,99).

Akkor

a×b=(887,-7042,7963),

(a×b)×a=(-1232578,677582,736510),

a×c=(11167,-12047,983),

(a×b)×(a×c)=(89007975,88050900,67952325),

((a×b)×(a×c))×(a×b)=(1179669589350,-648496792650,-704895308250)=-957075((a×b)×a).

Itt tehát párhuzamos lett a két vektor.

Ez után (illetve esetleg több hasonló próba után) érdemes bizonyítást keresni. Nekem van egy bizonyításom, de egyelőre hagyom a fiatalokat kibontakozni.

Legyenek a,b,c térvektorok, és jelölje × a vektoriális szorzást.

Igaz-e, hogy az

((a×b)×(a×c))×(a×b)

és az

(a×b)×a

vektorok párhuzamosak?

Több szem többet lát, köszönöm az útravezetést, Róbert Gida és Sirpi neked is :-)

Van egyszerűbb út is: minden sorban van azonos színű pontpár (skatulyaelv), ha van két sorod amikben ugyanott van az azonos színű pontpárod, akkor egyszínű téglalapod van. 3 féle helyen lehet a pontpár, a szín kétféle lehet, így 3*2=6 lehetőség van a helyre+színre. Azaz 7 sornál lesz egyszínű téglalapod (skatulyaelv).

Végiggondoltam ezt az utat is, és tényleg igaz az az állítás, hogy: Ha egy 3x7-es téglalapban elhelyezünk 11 korongot, akkor a korongok közül van 4, amik egy (álló) téglalap 4 csúcsát alkotják.

Amit leírtál, az csak az a rész, amikor az egyik oszlopban 7 korong van, ilyenkor tényleg 9 a maximum. Viszont mi a helyzet, ha a legtöbb korongot tartalmazó oszlopban 6,5,4 korong szerepel? Végig lehet nézni, ilyenkor is kijön, hogy 10 után elakadunk.

Szóval ez az út is járható, de személy szerint macerásabbnak érzem, mint a (3 hosszú) sorok szerinti esetvizsgálatot.