| [35] lorantfy | 2003-11-06 14:18:01 |
 Az eredeti tevés példa úgy szólt, hogy 11 tevét örökölnek és hogyan oszthatnák el ha a legidősebb felét, a középső harmadát, a legkisebb hatodát örökölte. És a bölcs kádi javaslatára kölcsönkérnek egy tevét, amit az osztozkodás után vissza is adnak.
|
|
|
|
| [32] Hajba Károly | 2003-11-06 12:31:28 |
 A 7. feladathoz:
Először is elnézést mindenkitől, de még nem sikerült elmélyedni a TeX-ben, így annak lehetőségeit most nem használom ki. (De ami késik, nem múlik.)
Mivel a tevék számához még 1-t hozzáadva el tudták osztani kényelmesen és még meg is maradt a kölcsönteve, ezért a K, L, M számok reciprokösszege alulról közelíti az 1-t, de nagyobb mint a legkisebb elérhető N-re N/(N+1)=0,9; ahol N=2+3+4=9. (Lehet ennél finomabban is lehatárolni.)
Tehát azokat a számhármasokat kell megvizsgálni, melyek reciprokösszege ebbe a tartományba esik. K=2, mivel a 3, 4, 5 számhármasra 0,78..; továbbá 2, 4, 5 számhármasra 0,8666... jön ki, mint alsó korlát, másrészről 2, 3, 6 számhármasra 1,00 jön ki, mint felső korlát. Én a két számhármas között két megoldást találtam:
K=2, L=3, M=7, N=41
K=2, L=4, M=6, N=11
Hajba Károly
|
| Előzmény: [26] lorantfy, 2003-11-05 21:34:18 |
|
| [31] Rizsa | 2003-11-06 12:27:26 |
 A tevel szama 17, es 2, 3, 6 reszre kell bontani a majdani 18at.
|
|
| [30] Lóczi Lajos | 2003-11-05 23:59:16 |
 Mivel közben sikerült tisztáznom az előző hozzászólásban megfogalmazott sejtésem (a bizonyítás nem nehéz, teljesen elemi, csak két apró ötlet kell, és minden szükséges információ megtalálható a hozzászólásban), ezért
8. feladat: Mutassuk meg, hogy tetszőleges N 2 természetes számra
|
| Előzmény: [29] Lóczi Lajos, 2003-11-05 23:20:59 |
|
| [29] Lóczi Lajos | 2003-11-05 23:20:59 |
|
Az 1. feladattal kapcsolatban a következő érdekes általánosítás tűnik igaznak: nevezetesen nem számít, hogy mely hatványfüggvények reciprokait szerepeltetjük a szummákban (ami ott 2, 3, 5, illetve 8 volt). A rövidség kedvéért vezessük be a következő (szokásos) jelölést: ha s>1 valós szám, akkor legyen
a híres-nevezetes dzeta-függvény. (Mint ismeretes, ennek a függvénynek komplex s-ekre történő kiterjesztése szerepel az egyik leghíresebb, mindmáig megoldatlan matematikai sejtésben, a Riemann-hipotézisben.)
Ezzel a jelöléssel az előző hozzászólásban beláttuk tehát, hogy
Sejtésem a következő: 2-től kezdve akárhány ilyen tagot adunk össze, az összeg mindig kisebb lesz 1-nél, azaz, ha N2 tetszőleges természetes szám, akkor
A sejtést alátámasztják a Mathematica programmal végzett numerikus kísérletek (például ha N=50, akkor a fenti összeg körülbelül 0,99999999999999911...), valamint a Mathematica azon állítása, hogy
(Ha a program ezt állítja, akkor valószínűleg ezt már bebizonyította valaki, a sejtéshez nyilván "elég" lenne ez utóbbi állítást megmutatni, hiszen a szumma N-ben monoton nő.)
A sejtéssel kapcsolatos bármely észrevételt szívesen veszek.
|
|
| [28] Lóczi Lajos | 2003-11-05 22:56:02 |
|
Ha szabad integrálokat használni, akkor következzen egy megoldás az 1. feladatra.
Mivel az összegzendő kifejezések szigorúan monoton fogyóak, ezért felfoghatók integrálok alsó (téglalapos) közelítőösszegeiként -- csak arra kell vigyáznunk, hogy az integrálás határát 1-gyel hamarabb kezdjük, mint a szummázásét. (A szumma első két tagját külön kell kezelnünk, mert különben felső becslésünk túl durva lenne.) Tehát
![\frac{944905}{1679616}+\left[-\frac{1}{x}-\frac{1}{2x^2}
-\frac{1}{4x^4}-\frac{1}{7x^7} \right]_3^\infty=
\frac{944905}{1679616}+\left( 0+\frac{24007}{61236}\right)=](keplet.cgi?k=FE7C5468F3C5143E)
|
| Előzmény: [1] Sirpi, 2003-10-30 10:07:33 |
|
| [27] Lóczi Lajos | 2003-11-05 22:15:39 |
|
A már említetteken kívül pár egyéb "ötlet" a tréfás kérdés megválaszolásához.
Az ex függvényen kívül a (konstans.ex) függvény, mint általános megoldás is szóba jöhet (abban az értelemben, hogy a függvény és deriváltja megegyezik).
Speciálisan a kuncogó függvény lehet az azonosan nulla függvény is.
De kuncoghat azért is, mert ő mondjuk a Dirichlet-függvény (amely tehát racionális pontokban 1, irracionálisokban 0, s így sehol sem folytonos, sehol sem deriválható).
Sőt, kuncoghat azért is, mert ő pl. az x2 függvény, s így deriválás után az értékkészlete nagyobb lesz.
|
| Előzmény: [11] enel, 2003-11-04 14:32:31 |
|
| [26] lorantfy | 2003-11-05 21:34:18 |
|
Valamikor régen amikor a Scientific American még Tudomány néven magyarul is megjelent olvastam benne egy matek feladványt. De sajnos ez olyan régen volt, hogy a pontos számokat már elfelejtettem, így kénytelen vagyok a feladatot általánosan megfogalmazni: 7. feladat: A gazdag tevekereskedő mielőtt meghalt magához hívta 3 fiát és elmondta nekik, hogy rájuk hagyja N db tevéjét. A tevék K-ad részét a legidősebb, L-ed részét a középső és M-ed részét pedig a legkisebb fia kapja. A kereskedő halála után a fiúk bajban voltak mert az N szám K, L, M egyikével sem volt osztható. Szerencsére éppen egy tevekaraván haladt át a falun és a legkisebb fiúnak támadt egy ötlete. Kölcsönkért egy tevét a karavánból. Így az N+1 tevét el tudták osztani egymás között a végakaratnak megfelelően és még maradt is 1 teve, amit visszaadtak a tulajdonosának. Milyen K,L,M,N számokra teljesíthető a fenti felosztás ? ( K<L<M<N pozitív egész számok!)
|
|
