Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: Érdekes matekfeladatok

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]    [161]    [162]    [163]    [164]    [165]    [166]    [167]    [168]    [169]    [170]    [171]    [172]    [173]    [174]    [175]    [176]    [177]    [178]    [179]    [180]    [181]    [182]    [183]    [184]    [185]    [186]    [187]    [188]    [189]    [190]    [191]    [192]    [193]    [194]    [195]    [196]    [197]    [198]    [199]    [200]    [201]    [202]    [203]    [204]    [205]    [206]    [207]    [208]    [209]    [210]    [211]    [212]    [213]    [214]    [215]    [216]    [217]    [218]    [219]    [220]    [221]    [222]    [223]    [224]    [225]    [226]    [227]    [228]    [229]    [230]    [231]    [232]    [233]    [234]    [235]    [236]    [237]    [238]    [239]    [240]    [241]    [242]    [243]    [244]    [245]    [246]    [247]    [248]    [249]    [250]    [251]    [252]    [253]    [254]    [255]    [256]    [257]    [258]    [259]    [260]    [261]    [262]    [263]    [264]    [265]    [266]    [267]    [268]    [269]    [270]    [271]    [272]    [273]    [274]    [275]    [276]    [277]    [278]    [279]    [280]    [281]    [282]    [283]    [284]    [285]    [286]    [287]    [288]    [289]    [290]    [291]    [292]    [293]    [294]    [295]    [296]    [297]    [298]    [299]    [300]    [301]    [302]    [303]    [304]    [305]    [306]    [307]    [308]    [309]    [310]    [311]    [312]    [313]    [314]    [315]    [316]    [317]    [318]    [319]    [320]    [321]    [322]    [323]    [324]    [325]    [326]    [327]    [328]    [329]    [330]    [331]    [332]    [333]    [334]    [335]    [336]    [337]    [338]    [339]    [340]    [341]    [342]    [343]    [344]    [345]    [346]    [347]    [348]    [349]    [350]    [351]    [352]    [353]    [354]    [355]    [356]    [357]    [358]    [359]    [360]    [361]    [362]    [363]    [364]    [365]    [366]    [367]    [368]    [369]    [370]    [371]    [372]    [373]    [374]    [375]    [376]    [377]    [378]    [379]    [380]    [381]    [382]    [383]    [384]    [385]    [386]    [387]    [388]    [389]    [390]    [391]    [392]    [393]    [394]    [395]    [396]    [397]    [398]    [399]    [400]    [401]    [402]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[3551] jonas2012-04-14 16:47:05

Átirat.

If you choose an answer to this question at random, what is the change you will be correct?

A) 25%

B) 50%

C) 60%

D) 25%

Előzmény: [3550] lorantfy, 2012-04-13 21:09:24
[3550] lorantfy2012-04-13 21:09:24
[3549] Róbert Gida2012-01-15 20:35:34

Egy variánsa ismert feladat: 16 egymásutáni egész szám közt mindig van olyan, amely relatív prím a többihez. Míg 17 számra ez nem igaz.

Előzmény: [3541] Sirpi, 2012-01-15 07:40:05
[3548] Sirpi2012-01-15 17:48:42

Én is ezt találtam meg (kézzel).

Előzmény: [3545] jonas, 2012-01-15 11:16:07
[3547] jonas2012-01-15 13:13:49

Épp ellenkezőleg. Hasznos, hogy elmondtad, hogy lehet megtalálni egyszerűen ezt a megoldást. Én egyszerűen csak végignéztem az összes kis számot, hogy melyik működik. Mivel azt írtad, hogy van 800 alatt megoldás, ezért kezdtem el kis példát keresni.

Előzmény: [3546] FlagD, 2012-01-15 13:07:44
[3546] FlagD2012-01-15 13:07:44

Akkor én is lelövöm az én "megoldásom".A két számot a-val, és b-vel fogom jelölni. b=a+k (vagyis a és b között k-1 darab számra kell teljesülnie a feltételnek.)

Az első, ami beugrott, az az ismert feladat, hogy bármely pozitív egész n-re van egymás utáni n darab összetett szám. 6!+1=721 pedig osztható 7-tel, vagyis a=6!, és b=6!+7 jó választás lesz. Azt néztem el, hogy 727 persze nem osztható 7-tel. (No persze annak is be kellett volna ugrani, hogy Wilson-tétele miatt,akkor már pl. 5|4!+1 is igaz, és a=4! is hasonló okok miatt nem megfelelő)

És akkor, hogy lehet jó megoldást adni: Az könnyen látható, hogy a,b>2. Mivel két szomszédos szám legnagyobb közös osztója : (n;n+1)=1, emiatt (a;b-1)>1, és (b;a+1)>1 (és így a-nak, és b-nek kell lennie különböző prímosztójának ). Ha elkezdjük b-1;a-val, illetve b;a+1-gyel az euklideszi-algoritmust, akkor mindkét esetben az első maradék: k-1. Ez a fentiek miatt azt jelenti, hogy k-1-nek legalább két különböző prímosztója van. Nézzük sorba az eseteket (amikor pontosan két prímosztója van k-1-nek!)

1. Ha k-1=2*3. Ekkor b=a+7. (Legyen most 2|a, és 3|b; a fordított eset hasonló!) Ekkor a+1 (=b-6 miatt!); a+2; a+4 (=b-3 is!); a+6 számok "jók", de a+3=b-4 mind a-val, mind b-vel relatív prím. Vagyis ez az eset nem lehet!

2-3. Hasonlóan k-1=2*7 (2|a,7|b) esetre pedig a+7=b-8 "rossz"; míg k-1=2*5 (2|a,5|b) esetre: a+5=b-6 "rossz", amennyiben 3 nem osztója b-nek, és a+9=b-2 "rossz", amennyiben 3 nem osztója a-nak (és persze 3 vagy a-t, vagy b-t oszthatja csak!)

4. Legyen most k-1=3*5 (itt lesz a jó megoldás), illetve 3|a, 5|b! Válasszuk a-t párosnak is (ekkor persze b is az). Így a+1(=b-15 miatt), a+2, a+3,a+4;a+6(=b-10 miatt is);a+8;a+9;a+10;a+11(=b-5 miatt);a+12;a+14;a+15 eleve "jók" (a,és b választása miatt). a+5=b-11; a+7=b-9; a+13=b-3 számokat kell vizsgálnunk csak. Mivel 3 nem osztja b-t, 5 pedig a-t, a fenti három vizsgált szám csak úgy lehet "jó", ha 11|b, míg 7*13|a teljesül. Most ott tartunk, hogy 2*3*7*13=546|a , míg 2*5*11=110|b. Vegyük észre, hogy 5*2*5*11=550 "közel" van 546-hoz. Ha mind 546-t, mind 550-t szorozzuk 4-gyel, akkor megfelelő a-t, b-t kapunk. Vagyis a=2*2*2*3*7*13 = 2184 , és b=2*2*5*5*11 = 2200 valóban jó választás.

Azt még nem látom pontosan, hogy miért ez a legkisebb. Ja és elnézést jonastól (természetesesn Övé az érdem), hogy lelőttem, hogy a megoldása hogy jöhetett ki, a rossz megoldásom miatt próbáltam "kiköszörülni a csorbát"!

Üdv!

Előzmény: [3545] jonas, 2012-01-15 11:16:07
[3545] jonas2012-01-15 11:16:07

Lelőjem? A legkisebb megoldás a (2184, 2200).

Előzmény: [3541] Sirpi, 2012-01-15 07:40:05
[3544] jonas2012-01-15 11:09:56

Esetleg úgy érted, olyat találtál, ahol a két szám különbsége van 700 és 800 között? Mert olyan megoldás biztosan nincsen, ahol mindkét szám 800 alatt van.

Előzmény: [3543] FlagD, 2012-01-15 10:14:46
[3543] FlagD2012-01-15 10:14:46

Nekem megvan, de nem lőném le teljesen, csak annyira, hogy van ilyen számpár.

Egy ismert számelmélet feladat jutott rögtön eszembe, és 700, és 800 között találtam jó megoldást (nem tudom ez a számpár-e a legelső).

Előzmény: [3541] Sirpi, 2012-01-15 07:40:05
[3542] jonas2012-01-15 09:54:37

Ügyes feladat.

Előzmény: [3541] Sirpi, 2012-01-15 07:40:05

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]    [161]    [162]    [163]    [164]    [165]    [166]    [167]    [168]    [169]    [170]    [171]    [172]    [173]    [174]    [175]    [176]    [177]    [178]    [179]    [180]    [181]    [182]    [183]    [184]    [185]    [186]    [187]    [188]    [189]    [190]    [191]    [192]    [193]    [194]    [195]    [196]    [197]    [198]    [199]    [200]    [201]    [202]    [203]    [204]    [205]    [206]    [207]    [208]    [209]    [210]    [211]    [212]    [213]    [214]    [215]    [216]    [217]    [218]    [219]    [220]    [221]    [222]    [223]    [224]    [225]    [226]    [227]    [228]    [229]    [230]    [231]    [232]    [233]    [234]    [235]    [236]    [237]    [238]    [239]    [240]    [241]    [242]    [243]    [244]    [245]    [246]    [247]    [248]    [249]    [250]    [251]    [252]    [253]    [254]    [255]    [256]    [257]    [258]    [259]    [260]    [261]    [262]    [263]    [264]    [265]    [266]    [267]    [268]    [269]    [270]    [271]    [272]    [273]    [274]    [275]    [276]    [277]    [278]    [279]    [280]    [281]    [282]    [283]    [284]    [285]    [286]    [287]    [288]    [289]    [290]    [291]    [292]    [293]    [294]    [295]    [296]    [297]    [298]    [299]    [300]    [301]    [302]    [303]    [304]    [305]    [306]    [307]    [308]    [309]    [310]    [311]    [312]    [313]    [314]    [315]    [316]    [317]    [318]    [319]    [320]    [321]    [322]    [323]    [324]    [325]    [326]    [327]    [328]    [329]    [330]    [331]    [332]    [333]    [334]    [335]    [336]    [337]    [338]    [339]    [340]    [341]    [342]    [343]    [344]    [345]    [346]    [347]    [348]    [349]    [350]    [351]    [352]    [353]    [354]    [355]    [356]    [357]    [358]    [359]    [360]    [361]    [362]    [363]    [364]    [365]    [366]    [367]    [368]    [369]    [370]    [371]    [372]    [373]    [374]    [375]    [376]    [377]    [378]    [379]    [380]    [381]    [382]    [383]    [384]    [385]    [386]    [387]    [388]    [389]    [390]    [391]    [392]    [393]    [394]    [395]    [396]    [397]    [398]    [399]    [400]    [401]    [402]