Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: Érdekes matekfeladatok

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]    [161]    [162]    [163]    [164]    [165]    [166]    [167]    [168]    [169]    [170]    [171]    [172]    [173]    [174]    [175]    [176]    [177]    [178]    [179]    [180]    [181]    [182]    [183]    [184]    [185]    [186]    [187]    [188]    [189]    [190]    [191]    [192]    [193]    [194]    [195]    [196]    [197]    [198]    [199]    [200]    [201]    [202]    [203]    [204]    [205]    [206]    [207]    [208]    [209]    [210]    [211]    [212]    [213]    [214]    [215]    [216]    [217]    [218]    [219]    [220]    [221]    [222]    [223]    [224]    [225]    [226]    [227]    [228]    [229]    [230]    [231]    [232]    [233]    [234]    [235]    [236]    [237]    [238]    [239]    [240]    [241]    [242]    [243]    [244]    [245]    [246]    [247]    [248]    [249]    [250]    [251]    [252]    [253]    [254]    [255]    [256]    [257]    [258]    [259]    [260]    [261]    [262]    [263]    [264]    [265]    [266]    [267]    [268]    [269]    [270]    [271]    [272]    [273]    [274]    [275]    [276]    [277]    [278]    [279]    [280]    [281]    [282]    [283]    [284]    [285]    [286]    [287]    [288]    [289]    [290]    [291]    [292]    [293]    [294]    [295]    [296]    [297]    [298]    [299]    [300]    [301]    [302]    [303]    [304]    [305]    [306]    [307]    [308]    [309]    [310]    [311]    [312]    [313]    [314]    [315]    [316]    [317]    [318]    [319]    [320]    [321]    [322]    [323]    [324]    [325]    [326]    [327]    [328]    [329]    [330]    [331]    [332]    [333]    [334]    [335]    [336]    [337]    [338]    [339]    [340]    [341]    [342]    [343]    [344]    [345]    [346]    [347]    [348]    [349]    [350]    [351]    [352]    [353]    [354]    [355]    [356]    [357]    [358]    [359]    [360]    [361]    [362]    [363]    [364]    [365]    [366]    [367]    [368]    [369]    [370]    [371]    [372]    [373]    [374]    [375]    [376]    [377]    [378]    [379]    [380]    [381]    [382]    [383]    [384]    [385]    [386]    [387]    [388]    [389]    [390]    [391]    [392]    [393]    [394]    [395]    [396]    [397]    [398]    [399]    [400]    [401]    [402]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[3602] Lóczi Lajos2012-06-28 17:26:08

Szokás szerint jelölje tr(A) az A mátrix nyomát és nevezzünk egy mátrixot nemnegatívnak, ha minden eleme nemnegatív valós szám. Rögzítsünk egy tetszőleges n pozitív egész számot.

538. feladat. Megadható-e olyan cn valós konstans, hogy tetszőleges, n×n-es nemnegatív A mátrix esetén teljesül a

tr2(A)\lecn.tr(A2)

egyenlőtlenség?

[3601] Cckek2012-06-28 09:42:13

Köszönöm a szép levezetést. Sajnos ezt azt jelenti, hogy másfelé kell probálkoznom:D.

Előzmény: [3600] Lóczi Lajos, 2012-06-28 04:06:50
[3600] Lóczi Lajos2012-06-28 04:06:50

Gondolom, hogy \ell2-re valós Hilbert-térként gondolsz, a "szokásos" skaláris szorzattal. E skaláris szorzat által indukált normát jelöljük a szokásos módon ||.||2-vel. Egy x sorozat esetén az n-edik komponensét xn jelölje.

Ekkor S nem zárt altere a \ell2 Hilbert-térnek.

Tetszőleges, de rögzített N pozitív egész esetén jelölje ugyanis x(N) az alábbi sorozatot:

x^{(N)}:=\left(1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\cdots,\frac{1}{N},0,0,0,\cdots\right),

ahol tehát az N-edik pozíció után csupa 0 áll. Jelölje továbbá x^{(\infty)} az alábbi sorozatot:

x^{(\infty)}:=\left(1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\cdots,\frac{1}{n},\frac{1}{n+1},\cdots\right),

ahol pedig tetszőleges n pozitív egészre az n-edik tag \frac{1}{n}.

Minden fix N-re nyilván x(N)\inS.

Az is világos, hogy x^{(\infty)}\notin S.

Viszont N\to\infty esetén x^{(N)}\to x^{(\infty)} (\ell2-normában), hiszen ha N\to\infty, akkor

||x^{(\infty)}-x^{(N)}||_2^2=\sum_{n=1}^\infty (x_n^{(\infty)}-x_n^{(N)})^2=\sum_{n=N+1}^\infty \frac{1}{n^2}\to 0.

Előzmény: [3599] Cckek, 2012-06-27 23:56:13
[3599] Cckek2012-06-27 23:56:13

Koszi sokat segitettetek, akkor meg lenne egy kerdesem:

Legyen S azon (x_n)_{n\in N}\in l_2 sorozatok ( l2 a negyzetesen osszegezheto sorozatok tere) halmaza melyekre

\sum_{n\ge 1}\left(-\sum_{k<n}x_k^2+\sum_{k>n}x_k^2\right)x_n

konvergens. Ekkor Hilbert resztere-e S l2-nek?

Előzmény: [3593] Cckek, 2012-06-27 18:31:59
[3598] Lóczi Lajos2012-06-27 22:02:40

Nem tűnik igaznak. Legyen pl. x2=-7, y1=-2 és y2=-99, az összes többi tag nulla, ekkor a bal oldal nagyobb a jobb oldalnál.

Előzmény: [3594] Cckek, 2012-06-27 19:23:00
[3597] Róbert Gida2012-06-27 21:06:56

Ha minden n-re xn=yn akkor igaz, sőt egyenlőség van, de ezt gondolom te is láttad.

Előzmény: [3594] Cckek, 2012-06-27 19:23:00
[3596] Cckek2012-06-27 20:24:06

Gyonyoru es gyors. Tudnal estleg veges nem pozitiv tagu sorozatot is adni?

Előzmény: [3595] Tóbi, 2012-06-27 19:47:39
[3595] Tóbi2012-06-27 19:47:39

Legyen x_n=-\frac{1}{n} (n=1,2,...) Ekkor \sum_{n\geq 1} x_n^2=\frac{\pi^2}{6}.

Ha n\geq4, akkor \left( -\sum_{k<n} x_k^2 +\sum_{k>n} x_k^2  \right)x_n = \frac{1}{n} \left( \sum_{k<n} x_k^2 -\sum_{k>n} x_k^2  \right)\geq \frac{1}{n} Ezért a második sor divergens.

Előzmény: [3593] Cckek, 2012-06-27 18:31:59
[3594] Cckek2012-06-27 19:23:00

Még egy feladat ami bonyolultnak tűnik de nagyon örülnék, ha valakinek sikerülne (pozitiv:) választ adni. Legyenek (x_n)_{n\in N} illetve (y_n)_{n\in N} négyzetesen öszegezhető sorozatok és legyen \sum_{n\ge 1} x_n^2=s illetve \sum_{n\ge 1}y_n^2=p. Igaz-e a következő egyenlőtlenség:

\sum_{n\ge 1}(x_n^6+y_n^6)-2s\sum_{n\ge 1}x_n(x_n^3-y_n^3)+2p\sum_{n\ge 1}y_n(x_n^3-y_n^3)-2\sum_{n\ge 1}x_n^3y_n^3+2(1-ps)\sum_{n\ge 1}x_ny_n\le s+p-s^3-p^3?

[3593] Cckek2012-06-27 18:31:59

Adjunk példát olyan (x_n)_{n\in {N}} sorozatra melyre \sum_{n\ge 1}x_n^2 konvergens és \sum_{n\ge 1}\left(-\sum_{k<n}x_k^2+\sum_{k>n}x_k^2\right)x_n pedig divergens!

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]    [161]    [162]    [163]    [164]    [165]    [166]    [167]    [168]    [169]    [170]    [171]    [172]    [173]    [174]    [175]    [176]    [177]    [178]    [179]    [180]    [181]    [182]    [183]    [184]    [185]    [186]    [187]    [188]    [189]    [190]    [191]    [192]    [193]    [194]    [195]    [196]    [197]    [198]    [199]    [200]    [201]    [202]    [203]    [204]    [205]    [206]    [207]    [208]    [209]    [210]    [211]    [212]    [213]    [214]    [215]    [216]    [217]    [218]    [219]    [220]    [221]    [222]    [223]    [224]    [225]    [226]    [227]    [228]    [229]    [230]    [231]    [232]    [233]    [234]    [235]    [236]    [237]    [238]    [239]    [240]    [241]    [242]    [243]    [244]    [245]    [246]    [247]    [248]    [249]    [250]    [251]    [252]    [253]    [254]    [255]    [256]    [257]    [258]    [259]    [260]    [261]    [262]    [263]    [264]    [265]    [266]    [267]    [268]    [269]    [270]    [271]    [272]    [273]    [274]    [275]    [276]    [277]    [278]    [279]    [280]    [281]    [282]    [283]    [284]    [285]    [286]    [287]    [288]    [289]    [290]    [291]    [292]    [293]    [294]    [295]    [296]    [297]    [298]    [299]    [300]    [301]    [302]    [303]    [304]    [305]    [306]    [307]    [308]    [309]    [310]    [311]    [312]    [313]    [314]    [315]    [316]    [317]    [318]    [319]    [320]    [321]    [322]    [323]    [324]    [325]    [326]    [327]    [328]    [329]    [330]    [331]    [332]    [333]    [334]    [335]    [336]    [337]    [338]    [339]    [340]    [341]    [342]    [343]    [344]    [345]    [346]    [347]    [348]    [349]    [350]    [351]    [352]    [353]    [354]    [355]    [356]    [357]    [358]    [359]    [360]    [361]    [362]    [363]    [364]    [365]    [366]    [367]    [368]    [369]    [370]    [371]    [372]    [373]    [374]    [375]    [376]    [377]    [378]    [379]    [380]    [381]    [382]    [383]    [384]    [385]    [386]    [387]    [388]    [389]    [390]    [391]    [392]    [393]    [394]    [395]    [396]    [397]    [398]    [399]    [400]    [401]    [402]