Fórum: Érdekes matekfeladatok

[1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232] [233] [234] [235] [236] [237] [238] [239] [240] [241] [242] [243] [244] [245] [246] [247] [248] [249] [250] [251] [252] [253] [254] [255] [256] [257] [258] [259] [260] [261] [262] [263] [264] [265] [266] [267] [268] [269] [270] [271] [272] [273] [274] [275] [276] [277] [278] [279] [280] [281] [282] [283] [284] [285] [286] [287] [288] [289] [290] [291] [292] [293] [294] [295] [296] [297] [298] [299] [300] [301] [302] [303] [304] [305] [306] [307] [308] [309] [310] [311] [312] [313] [314] [315] [316] [317] [318] [319] [320] [321] [322] [323] [324] [325] [326] [327] [328] [329] [330] [331] [332] [333] [334] [335] [336] [337] [338] [339] [340] [341] [342] [343] [344] [345] [346] [347] [348] [349] [350] [351] [352] [353] [354] [355] [356] [357] [358] [359] [360] [361] [362] [363] [364] [365] [366] [367] [368] [369] [370] [371] [372] [373] [374] [375] [376] [377] [378] [379] [380] [381] [382] [383] [384] [385] [386] [387] [388] [389] [390] [391] [392] [393] [394] [395] [396] [397] [398] [399] [400] [401] [402] [403]

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.

[3715] Lóczi Lajos	2013-04-17 23:38:37
Pl. itt.
Előzmény: [3714] egyedülható, 2013-04-17 19:35:54

[3714] egyedülható	2013-04-17 19:35:54
Létezik-e olyan képlet,mely megadja,hogy egy adott számnál mikor lesz nagyobb a harmonikus sor értéke?

[3713] gyula60	2013-04-13 16:34:47
A klasszikus Csebisev polinomok és másodfokú Pell egyenlet között nyilvánvaló a kapcsolat. Az összekötő egyenletük lényegében egy másodrendű ciklikus mátrix determinánsával hozható összefüggésbe. Amire később mi kísérletet teszünk az, hogy megpróbálunk egy olyan polinom rendszert gyártani, ami egy harmadrendű mátrix determinánsával állítható elő. Ezt neveztem én hibásan 3711 utolsó mondatában "harmadfokú Csebisev polinom"-nak, holott többről lesz szó.
Előzmény: [3711] gyula60, 2013-04-13 16:01:27

[3712] gyula60	2013-04-13 16:06:52
Korrekció: Általánosítás helyett inkább konstrukciót mondanék, mert a klasszikus másodfokú Pell egyenletet próbáljuk meg egyik irányba általánosítani.
Előzmény: [3711] gyula60, 2013-04-13 16:01:27

[3711] gyula60	2013-04-13 16:01:27
A feladat egyenlőre a harmadfokú háromismeretlenes Pell egyenlet egyik lehetséges, a harmadrendű ciklikus mátrixok alkalmazásával történő általánosítása. A lehetséges feltételek megkeresése, majd egy későbbi fázisban elgondolkozunk a negyedfokú változaton is. Még később a harmadfokú Csebisev polinomokat is megpróbáljuk előállítani.
Előzmény: [3710] nadorp, 2013-04-13 09:28:54

[3710] nadorp

2013-04-13 09:28:54

Legyen $\alpha$ n-edfokú algebrai szám, és legyenek $\alpha$ ₁= $\alpha$ , $\alpha$ ₂,..., $\alpha$ _n az $\alpha$ minimálpolinomjának gyökei. Tetszőleges x₁,x₂,,...,x_n egész számokra tekinsük az

f(x₁,...,x_n,x)=x_nx^n-1+...+x₂x+x₁ polinomot.

A feladatod szerintem arra vezethető vissza általában, hogy oldjuk meg az

$\prod_{i=1}^{n}f(x_1,...,x_n,\alpha_i)=1$ egyenletet az egész számok körében.

Előzmény: [3709] gyula60, 2013-04-12 17:35:08

[3709] gyula60	2013-04-12 17:35:08
A feladványom egyenletét eredetileg egy ciklikus mátrix determinánsával állítottam fel. Nyugodtan használhatsz gyökös kifejezéseket is. Ez a mátrixcsoport alkalmas lehet néhány alacsony fokszámú diofantoszi probléma kezelésére is.
Előzmény: [3706] nadorp, 2013-04-11 16:05:24

[3708] nadorp

2013-04-11 16:14:27

Bocs,

$(3\root3\of36-6\root3\of6+1)^n$

Előzmény: [3707] nadorp, 2013-04-11 16:11:38

[3707] nadorp

2013-04-11 16:11:38

Még annyi, hogy valószínűleg a megoldás a

$(3\root36\of3-6\root6\of3+1)^n$ kifejezés együtthatói lesznek

Előzmény: [3706] nadorp, 2013-04-11 16:05:24

[3706] nadorp

2013-04-11 16:05:24

csak lusta voltam és ez már súrolja az egyetemi anyagot:-)

Ha $a=\root3\of6$ és (p,q,r) Q(a)-beli elem, akkor az inverzére

(pa²+qa+r)(xa²+ya+z)=(rx+qy+pz)a²+(6px+ry+qz)a+6qx+6py+rz=1

Láthatóan egy lineáris egyenletrendszert kapunk, melynek mátrixa

$A=\left(\matrix{r&q&p\cr6p&r&q\cr6q&6p&r}\right)$ valamint jó jel, hogy |A|=36p³+6q³+r³-18pqr=1

A szimmetria miatt ha (p,q,r) megoldása a diofantikus egyenletnek, akkor fenti egyenletrendszer x,y,z megoldása is az. Az előzőek alapján sejteni lehet, hogy ha (p,q,r) és (x,y,z) is megoldás, akkor $A\left(\matrix{x\cr y\cr z}\right)$ is megoldás lesz. Ez valóban így van, ezért innen indukcióval következik, hogy ha p,q,r megoldás, akkor $A^n\left(\matrix{p\cr q\cr r}\right)$ is megoldás tetszőleges n egészre ( negatív kitevő is megengedett, hiszen az A mátrix invertálható ). Innen az egyenlet megoldásai:

$\left(\matrix{x\cr y\cr z}\right)=\left(\matrix{1&-6&3\cr18&1&-6\cr-36&18&1}\right)^n\left(\matrix{3\cr -6\cr 1}\right)$

Ezt még "szebbé" lehet tenni, ha a mátrixot diagonizáljuk. Azt még nem láttam be, hogy több megoldás nincs. Ha pld. tudnánk, hogy z=1 esetén csak egy megoldás van és a rekurzió z-ben monoton, akkor ezzel is kész vagyunk.

Előzmény: [3705] gyula60, 2013-04-11 13:27:06

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?