Fórum: Érdekes matekfeladatok

[1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232] [233] [234] [235] [236] [237] [238] [239] [240] [241] [242] [243] [244] [245] [246] [247] [248] [249] [250] [251] [252] [253] [254] [255] [256] [257] [258] [259] [260] [261] [262] [263] [264] [265] [266] [267] [268] [269] [270] [271] [272] [273] [274] [275] [276] [277] [278] [279] [280] [281] [282] [283] [284] [285] [286] [287] [288] [289] [290] [291] [292] [293] [294] [295] [296] [297] [298] [299] [300] [301] [302] [303] [304] [305] [306] [307] [308] [309] [310] [311] [312] [313] [314] [315] [316] [317] [318] [319] [320] [321] [322] [323] [324] [325] [326] [327] [328] [329] [330] [331] [332] [333] [334] [335] [336] [337] [338] [339] [340] [341] [342] [343] [344] [345] [346] [347] [348] [349] [350] [351] [352] [353] [354] [355] [356] [357] [358] [359] [360] [361] [362] [363] [364] [365] [366] [367] [368] [369] [370] [371] [372] [373] [374] [375] [376] [377] [378] [379] [380] [381] [382] [383] [384] [385] [386] [387] [388] [389] [390] [391] [392] [393] [394] [395] [396] [397] [398] [399] [400] [401] [402]

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.

[3721] w

2013-05-26 19:31:50

Ennek mintájára igazoljuk, hogy

$\sum_{k=0}^n (-1)^{n+k} \binom n k k^{n+1}=\frac n2 \cdot n!$

[3720] w

2013-05-26 19:26:07

Visszatérve Lajos problémájára, helyettesítsünk be A=0, h=1-et, és vegyük az f(x)=xⁿ polinomot!

$\sum_{k=1}^n (-1)^{n-k}\binom n k k^n=n!$

Ilyen formára írtam át korábban az összegét, ami tehát valóban 1-gyel egyenlő.

Amúgy ez elvileg ismert azonosság volna, úgyhogy egy kombinatorikai megoldást szívesen megnéznék.

Előzmény: [3719] w, 2013-05-26 19:17:40

[3719] w

2013-05-26 19:17:40

Olvasgatás közben rábukkantam a következő azonosságra:

$\sum_{k=0}^n (-1)^{n-k} \binom nk f(A+kh) = a_n\cdot h^n\cdot n!$

ahol f(x)=a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+...+a₁x+a₀, f $\in$ R[x] polinom, h $\neq$ 0, A valós számok, n pozitív egész.

Vajon hogyan igazolnánk?

Nemrég merült fel a következő segédfeladat. Keressük meg az összes legfeljebb n-edfokú p polinomot, amelyre adott páronként különböző a₀, a₁, ..., a_n és x₀, x₁, ..., x_n számok mellett p(x_i)=a_i ( $\forall$ i=0,1,...n)!

Megoldás. Először megbecsüljük, hány ilyen polinom lehet. Tegyük fel, hogy két különbözőt is találtunk. Ekkor a két polinom különbsége (n+1) db helyen (x₀, x₁, ..., x_n helyeken) nulla, bár legfeljebb n-edfokú, azaz csakis a zéruspolinom lehet, ami ellentmond annak, hogy különböző polinomokat vettünk. Idő kérdése, amíg konstruálunk is egyet:

$p(x)=\sum_{i=0}^n a_i\cdot\prod_{0\le j\neq i\le n} \frac{x-x_j}{x_i-x_j}$

x_i behelyettesítés után láthatóan jó lesz.

Ezt hívják a Lagrange-féle interpolációs polinomnak (amit gondolom a hozzászólók nagy része ismer).

Megoldás. Vegyük az f(x) legfeljebb n-edfokú függvényre felírt interpolációs képletet:

$f(x)=\sum_{k=0}^n f(A+kh)\cdot\prod_{j\neq k} \frac{x-(A+jh)}{(k-j)h}$

. Ezután nézzük meg a két oldalon álló polinomok főegyütthatóját!

$a_n=\sum_{k=0}^n f(A+kh)\cdot1/\bigg(\prod_{j\neq k}\big((k-j)h\big)\bigg)$

(Ugyanis az int. azonosságban minden egyes k-ra megnézve a tagot, a számlálóban lévő szorzat elvégzése után csak egy darab xⁿ keletkezik.)

Az utóbbi kifejezés tovább alakítható:

$a_n=\sum_{k=0}^n f(A+kh)\cdot1/\bigg(\prod_{j\neq k}\big((k-j)h\big)\bigg)=$

$=\sum_{k=0}^n f(A+kh)\cdot \frac1{h^n\cdot k(k-1)(k-2)\cdot\dots\cdot1\cdot(-1)\cdot\dots\cdot(k-n)}=$

$=\sum_{k=0}^n f(A+kh)\cdot (-1)^{n-k} \cdot \frac{n!}{k!\cdot(n-k)!}:(n!\cdot h^n)$

$a_n\cdot n!\cdot h^n=\sum_{k=0}^n f(A+kh)\cdot (-1)^{n-k} \cdot \binom n k$

Készen vagyunk.

Előzmény: [3717] Lóczi Lajos, 2013-04-22 01:41:38

[3718] w

2013-04-30 16:59:56

Az összeget jobban szeretem a következő alakban:

$\frac1{n!} \cdot \sum_{k=0}^n (-1)^{n+k} k^n \binom n k=1$ .

(Direkt odaírtam, hogy az összeg valójában 1-gyel egyenlő. Ja meg itt n:=p, mert p általában prímet jelöl, továbbá az m betű futó indexben, kombinatorikai azonosságban nem tetszik nekem. Számomra ilyen formában sokkal áttekinthetőbb, de nem szeretnék erről vitát kezdeni.)

Előzmény: [3717] Lóczi Lajos, 2013-04-22 01:41:38

[3717] Lóczi Lajos	2013-04-22 01:41:38
Legyen p pozitív egész. Mennyi ekkor $\sum_{m=1}^p \frac{(-1)^{m+p}m^{p-1}}{(m-1)!(p-m)!}$ értéke?

[3716] gyula60

2013-04-19 21:35:07

Megoldandó a következő háromismeretlenes harmadfokú egyenlet, t=1,2 és 3 esetén:

t²·w³+t·v·(v²-3·u·w)+u³=1

Keress összefüggést a következő ciklikus mátrixszal:

$M:=\left(\matrix{u&v\root3\of{t}&w\root3\of{t^2}\cr w\root3\of{t^2}&u&v\root3\of{t}\cr v\root3\of{t}&w\root3\of{t^2}&u\cr}\right)$

További előzmények: [3708],[3711],[3712],[3713]

Előzmény: [3710] nadorp, 2013-04-13 09:28:54

[3715] Lóczi Lajos	2013-04-17 23:38:37
Pl. itt.
Előzmény: [3714] egyedülható, 2013-04-17 19:35:54

[3714] egyedülható	2013-04-17 19:35:54
Létezik-e olyan képlet,mely megadja,hogy egy adott számnál mikor lesz nagyobb a harmonikus sor értéke?

[3713] gyula60	2013-04-13 16:34:47
A klasszikus Csebisev polinomok és másodfokú Pell egyenlet között nyilvánvaló a kapcsolat. Az összekötő egyenletük lényegében egy másodrendű ciklikus mátrix determinánsával hozható összefüggésbe. Amire később mi kísérletet teszünk az, hogy megpróbálunk egy olyan polinom rendszert gyártani, ami egy harmadrendű mátrix determinánsával állítható elő. Ezt neveztem én hibásan 3711 utolsó mondatában "harmadfokú Csebisev polinom"-nak, holott többről lesz szó.
Előzmény: [3711] gyula60, 2013-04-13 16:01:27

[3712] gyula60	2013-04-13 16:06:52
Korrekció: Általánosítás helyett inkább konstrukciót mondanék, mert a klasszikus másodfokú Pell egyenletet próbáljuk meg egyik irányba általánosítani.
Előzmény: [3711] gyula60, 2013-04-13 16:01:27

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?