[3729] w | 2013-06-05 21:33:20 |
 További algebrai ügyeskedés (ami nagyon tetszik) ennek a topicnak az első hozzászólásaiban található: mennyi lesz az

összeg, ha (k) a híres Riemann-féle zéta-függvény. Riasztóbb, mint amilyen.
Új feladat következik. Egy másik függvényt mondok, pl. g-t, ami ezúttal a pozitív egészek közül a 2-nél nagyobbakra hat, és nem más, mint

lesz. Most nem puccoskodok, csak kérem, hogy mutassuk meg, hogy g felülről és alulról korlátos. Adjunk meg minél jobb korlátot.
|
Előzmény: [3728] aaaa, 2013-06-05 21:22:05 |
|
[3728] aaaa | 2013-06-05 21:22:05 |
 Hú, tényleg, pozitívakra gondoltam. Igen, bernoulliból szépen kijön, vagy még a b) feladat szorzatának felső becsülgetéséből is pont ez adódik.
|
Előzmény: [3727] w, 2013-06-05 21:12:46 |
|
[3727] w | 2013-06-05 21:12:46 |
 Aranyos. Nekem pozitív egészekre van megoldásom, de nem is baj, mert csak poz. egészekre értelmezhetők a kifejezések, vagy teljesül az egyenlőtlenség. (Utóbbi magyarázata: ha n=1 és m<0, akkor a bal oldal 1-1/(-m), a jobb oldal 1+0, ami ellentmondás.) A Bernoulli-egyenlőtlenség szerint

és ebből n-edik gyököt vonva megkapjuk a kívántat.
Már aki nem ismeri a Bernoullit, az kínos helyzetben van, mert vagy eszébe jut a súlyozott hatványközepek közötti egyenlőtlenség (ami bizonyítja a Bernoullit), vagy (nagyobb eséllyel) rájön, hogy itt indukciót lehetne csinálni. Ennek ellenére a feladat legkönnyebb megoldása a binomiális tétellel történik (megint ekvivalens átal. n-edikre hatványozok):

|
Előzmény: [3726] aaaa, 2013-06-05 20:02:28 |
|
[3726] aaaa | 2013-06-05 20:02:28 |
 Bizbe, hogy:

minden egész n és m párra.
|
|
[3725] aaaa | 2013-06-05 19:53:28 |
 Remélem azért nem írtam el sehol, de:
a) Legyen:

Ekkor Ql,n+1>Pl,n>Rl,n>Ql,n, ez pl. tényezőnkénti összehasonlítással adódik, az alsó ill felső becsléshez használt PQR típusú két szorzat meg teleszkópos, lesz. Ekkor


A feladatban l=2666, n=333, így adódott.
b) Először is, ha xi>0 teljesül a következő, egyenlőség i=1 esetén:

Vagyis, felhasználva -et:

Szóval minden m>0-ra tart a végtelenbe.
|
Előzmény: [3724] w, 2013-06-05 15:27:35 |
|
[3724] w | 2013-06-05 15:27:35 |
 Definiáljuk a pozitív egész számokon értelmezett f(n,m) függvényt a következőképpen:
.
(a) Nagyobb vagy kisebb a
kifejezés a kettőnél?
(b) Mely m számok esetén lesz ?
|
|
|
|
[3721] w | 2013-05-26 19:31:50 |
 Ennek mintájára igazoljuk, hogy

|
|
[3720] w | 2013-05-26 19:26:07 |
 Visszatérve Lajos problémájára, helyettesítsünk be A=0, h=1-et, és vegyük az f(x)=xn polinomot!

Ilyen formára írtam át korábban az összegét, ami tehát valóban 1-gyel egyenlő.
Amúgy ez elvileg ismert azonosság volna, úgyhogy egy kombinatorikai megoldást szívesen megnéznék.
|
Előzmény: [3719] w, 2013-05-26 19:17:40 |
|