[3731] w | 2013-06-06 08:21:32 |
Lehet tanulságossá tenni. Kezdd azzal, hogy a feladatot megpróbálod szépen megoldani. Van igen szép, integrálos egyenlőtlenség nélküli megoldása, csak ahhoz gondolkodni is kell :-) Segítség: mi indukciót akarunk csinálni, csak n-re nem sikerül. Azt igazold, hogy g(n)<3.
|
Előzmény: [3730] aaaa, 2013-06-05 22:45:26 |
|
[3730] aaaa | 2013-06-05 22:45:26 |
Utóbbi alsó korlátja triviálisan a , felsőre meg logaritmálunk, szóval a következőt kéne minél jobban becsülni:
Mivel 2log x<x-1, ha x>4, ezért mehet a következő felső becslés:
Ha meg nem becsülünk így felülről, hanem integrállal becsülgetünk, akkor n=10-től indítva az integrált felső korlátnak 2.76676 adódik pl, de ez nem túl tanulságos.
|
Előzmény: [3729] w, 2013-06-05 21:33:20 |
|
[3729] w | 2013-06-05 21:33:20 |
További algebrai ügyeskedés (ami nagyon tetszik) ennek a topicnak az első hozzászólásaiban található: mennyi lesz az
összeg, ha (k) a híres Riemann-féle zéta-függvény. Riasztóbb, mint amilyen.
Új feladat következik. Egy másik függvényt mondok, pl. g-t, ami ezúttal a pozitív egészek közül a 2-nél nagyobbakra hat, és nem más, mint
lesz. Most nem puccoskodok, csak kérem, hogy mutassuk meg, hogy g felülről és alulról korlátos. Adjunk meg minél jobb korlátot.
|
Előzmény: [3728] aaaa, 2013-06-05 21:22:05 |
|
[3728] aaaa | 2013-06-05 21:22:05 |
Hú, tényleg, pozitívakra gondoltam. Igen, bernoulliból szépen kijön, vagy még a b) feladat szorzatának felső becsülgetéséből is pont ez adódik.
|
Előzmény: [3727] w, 2013-06-05 21:12:46 |
|
[3727] w | 2013-06-05 21:12:46 |
Aranyos. Nekem pozitív egészekre van megoldásom, de nem is baj, mert csak poz. egészekre értelmezhetők a kifejezések, vagy teljesül az egyenlőtlenség. (Utóbbi magyarázata: ha n=1 és m<0, akkor a bal oldal 1-1/(-m), a jobb oldal 1+0, ami ellentmondás.) A Bernoulli-egyenlőtlenség szerint
és ebből n-edik gyököt vonva megkapjuk a kívántat.
Már aki nem ismeri a Bernoullit, az kínos helyzetben van, mert vagy eszébe jut a súlyozott hatványközepek közötti egyenlőtlenség (ami bizonyítja a Bernoullit), vagy (nagyobb eséllyel) rájön, hogy itt indukciót lehetne csinálni. Ennek ellenére a feladat legkönnyebb megoldása a binomiális tétellel történik (megint ekvivalens átal. n-edikre hatványozok):
|
Előzmény: [3726] aaaa, 2013-06-05 20:02:28 |
|
[3726] aaaa | 2013-06-05 20:02:28 |
Bizbe, hogy:
minden egész n és m párra.
|
|
[3725] aaaa | 2013-06-05 19:53:28 |
Remélem azért nem írtam el sehol, de:
a) Legyen:
Ekkor Ql,n+1>Pl,n>Rl,n>Ql,n, ez pl. tényezőnkénti összehasonlítással adódik, az alsó ill felső becsléshez használt PQR típusú két szorzat meg teleszkópos, lesz. Ekkor
A feladatban l=2666, n=333, így adódott.
b) Először is, ha xi>0 teljesül a következő, egyenlőség i=1 esetén:
Vagyis, felhasználva -et:
Szóval minden m>0-ra tart a végtelenbe.
|
Előzmény: [3724] w, 2013-06-05 15:27:35 |
|
[3724] w | 2013-06-05 15:27:35 |
Definiáljuk a pozitív egész számokon értelmezett f(n,m) függvényt a következőképpen:
.
(a) Nagyobb vagy kisebb a
kifejezés a kettőnél?
(b) Mely m számok esetén lesz ?
|
|
|
|