Fórum: Érdekes matekfeladatok

[1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232] [233] [234] [235] [236] [237] [238] [239] [240] [241] [242] [243] [244] [245] [246] [247] [248] [249] [250] [251] [252] [253] [254] [255] [256] [257] [258] [259] [260] [261] [262] [263] [264] [265] [266] [267] [268] [269] [270] [271] [272] [273] [274] [275] [276] [277] [278] [279] [280] [281] [282] [283] [284] [285] [286] [287] [288] [289] [290] [291] [292] [293] [294] [295] [296] [297] [298] [299] [300] [301] [302] [303] [304] [305] [306] [307] [308] [309] [310] [311] [312] [313] [314] [315] [316] [317] [318] [319] [320] [321] [322] [323] [324] [325] [326] [327] [328] [329] [330] [331] [332] [333] [334] [335] [336] [337] [338] [339] [340] [341] [342] [343] [344] [345] [346] [347] [348] [349] [350] [351] [352] [353] [354] [355] [356] [357] [358] [359] [360] [361] [362] [363] [364] [365] [366] [367] [368] [369] [370] [371] [372] [373] [374] [375] [376] [377] [378] [379] [380] [381] [382] [383] [384] [385] [386] [387] [388] [389] [390] [391] [392] [393] [394] [395] [396] [397] [398] [399] [400] [401] [402]

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.

[3812] csábos

2013-11-10 17:31:27

Ügyes, köszi!

Az ahol l tehát páros honnan látszik?

Előzmény: [3811] w, 2013-11-10 16:59:08

[3811] w

2013-11-10 16:59:08

20^13¹⁴ mod 7³ kiszámítása.

Bár klasszikus feladattípus, szerintem mégis érdekes a megoldás az átlagos feladathoz képest. (Például 9^9⁹ mod 10² kiszámítása egyszerűbb, hiszen számológéppel is könnyen adódik, hogy 9⁵ $\equiv$ -1 (mod 10²), ezért elég 9⁹-t mod 10 vizsgálni, ami pedig könnyű.) Most az nem kunszt, ha Euler-Fermat-val lemészároljuk, ámde tökéletesen elfogadható megoldás (ezért tűztem itt ki). Ha egyszerűbb eszközökkel szeretnénk dolgozni, akkor a következő megoldást találhatnánk.

Első célunk keresni olyan n kitevőt, melyre 20ⁿ $\equiv$ $\pm$ 1 (mod 7³). Vegyük észre, hogy 20=7k-1 alakú, ezért a binomiális tétel szerint

$20^n=(7k-1)^n=\binom n n (7k)^n\pm\dots+(-1)^{n-3}\binom n3(7k)^3+(-1)^{n-2}\binom n2(7k)^2+(-1)^{n-1}n(7k)+(-1)^{n}.$

Tehát célszerű n=7² választása, hisz akkor az utolsó tag kivételével minden tag 7³-nel osztható, vagyis 20⁴⁹ $\equiv$ -1 (mod 7³).

Vagyis csak 13¹⁴-t kell mod 49 megnéznünk. De a binomiális tételt újra alkalmazva kapjuk, hogy 13¹⁴ $\equiv$ 1 (mod 49), mert 13 $\equiv$ -1(7). Amiért az adódik, hogy 13¹⁴=49 $\ell$ +1 alakú, ahol $\ell$ tehát páros. Ebből következik, hogy 20^13¹⁴ $\equiv$ 20 (mod 7³), vagyis az utolsó három számjegy 026.

Előzmény: [3810] csábos, 2013-11-09 16:35:38

[3810] csábos

2013-11-09 16:35:38

Igazából az a kérdés, hogy hogyan lehet egyszerűen kiszámolni $13^{14}\frac{}{}$ -t modulo $49\cdot 6\frac{}{}$ . Modulo 6 1. Modulo 49 nekem (eddig) úgy a legegyszerűbb, hogy $13^2\equiv 8^3\equiv 22\frac{}{}$ modulo 49, azaz a 13 köbszám modulo 49, így ha $a^3\equiv 13\frac{}{}$ , akkor $13^{14}\equiv a^{42}\equiv 1\frac{}{}$ .

Mi a kitűző megoldása?

Előzmény: [3809] jonas, 2013-11-08 13:35:52

[3809] jonas	2013-11-08 13:35:52
Igazad van. Valamit elszámolhattam reggel.
Előzmény: [3808] Róbert Gida, 2013-11-08 13:06:53

[3808] Róbert Gida	2013-11-08 13:06:53
026 lesz az, hiszen 13¹⁴ $\equiv$ 1mod (776), így Euler-Fermat miatt (343 és 20 relatív prímek): 20^13¹⁴ $\equiv$ 20¹ $\equiv$ 20mod 343
Előzmény: [3807] jonas, 2013-11-08 08:50:47

[3807] jonas	2013-11-08 08:50:47
Szerintem 546 hetes számrendszerben az utolsó három számjegy, de lehet, hogy rosszul számoltam.
Előzmény: [3806] w, 2013-11-07 16:09:11

[3806] w

2013-11-07 16:09:11

Nekem is van egy saját készítésű szép számelméletfeladatom, bár ez évszámok használatának árán könnyebb lesz.

Határozzuk meg a 20^13¹⁴ hatvány 7-es számrendszerbeli alakjában az utolsó három számjegyet.

[3805] Sirpi

2013-10-25 09:19:21

Nekem is ez az eredmény jött ki, bár picit másképp csináltam.

Legyen a k jegyű. Ekkor

(a^*)²=(a²)^*=a²+11...1

(a^*)²-a²=11...1

(a^*-a)(a^*+a)=11...1

11...1^.(a^*+a)=11...1

a^*+a=11...1/11...1

Ha a k jegyű, akkor a² vagy 2k-1, vagy 2k jegyű, tehát ennyi db. 1-es van az előző sorok jobb oldalán. Ezt osztjuk le az utolsó sorban egy k db 1-esből álló számmal, és könnyen látható, hogy csak akkor kapunk egész számot, ha 2k db egyesből áll a számláló (sőt, ellenkező esetben a^* és a összege kisebb lenne, mint a különbsége).

Ez alapján a^*+a=100...01 (k-1 db 0-val), a^*-a=11...1, vagyis a=44...45, és ebből csak az 1 és a 2 jegyű megoldás a jó, ahogy azt Te is indokoltad.

Előzmény: [3804] csábos, 2013-10-23 23:21:42

[3804] csábos

2013-10-23 23:21:42

5,45

Tekintsük a feladatot modulo 10^k. Legyen

$n\equiv a \quad mod(10^k) \frac{}{}$

Ekkor a feladat az

$(a+\frac{10^k-1}{9})^2\equiv a^2 +\frac{10^k-1}{9}\quad mod(10^k)$

kongruencia formájában írható fel.

Négyzetre emelve, 81-gyel szorozva és a 10^k-val osztható tagokat elhagyva a

$-18a\equiv -10 \quad mod(10^k) \frac{}{},$

azaz

$9\equiv 5 \quad mod(10^{k-1}) \frac{}{}$

kongruenciához jutunk.

A jobboldalhoz 4^.10^k-t adva

a=44...445 adódik, azaz az eredeti kongruencia megoldásai

444...445 és 944...445. Ez utóbbi nem játékos, így marad az előbbi.

Ha k legalább 3, akkor 197136=444²<a²<445²=198025. Ezért a² második jegye 9-es, azaz nem megoldás.

Előzmény: [3803] Sirpi, 2013-10-21 14:26:41

[3803] Sirpi

2013-10-21 14:26:41

A következő egy általam kitalált feladat:

Egy a természetes számra a^* jelölje azt a számot, amit úgy kapunk, hogy a minden számjegyét eggyel megnöveljük. Pl: 125^*=236. Ha egy számban szerepel 9-es számjegy, akkor nincs értelmezve.

Oldjuk meg az (n^*)²=(n²)^* egyenletet.

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?