Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: Érdekes matekfeladatok

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]    [161]    [162]    [163]    [164]    [165]    [166]    [167]    [168]    [169]    [170]    [171]    [172]    [173]    [174]    [175]    [176]    [177]    [178]    [179]    [180]    [181]    [182]    [183]    [184]    [185]    [186]    [187]    [188]    [189]    [190]    [191]    [192]    [193]    [194]    [195]    [196]    [197]    [198]    [199]    [200]    [201]    [202]    [203]    [204]    [205]    [206]    [207]    [208]    [209]    [210]    [211]    [212]    [213]    [214]    [215]    [216]    [217]    [218]    [219]    [220]    [221]    [222]    [223]    [224]    [225]    [226]    [227]    [228]    [229]    [230]    [231]    [232]    [233]    [234]    [235]    [236]    [237]    [238]    [239]    [240]    [241]    [242]    [243]    [244]    [245]    [246]    [247]    [248]    [249]    [250]    [251]    [252]    [253]    [254]    [255]    [256]    [257]    [258]    [259]    [260]    [261]    [262]    [263]    [264]    [265]    [266]    [267]    [268]    [269]    [270]    [271]    [272]    [273]    [274]    [275]    [276]    [277]    [278]    [279]    [280]    [281]    [282]    [283]    [284]    [285]    [286]    [287]    [288]    [289]    [290]    [291]    [292]    [293]    [294]    [295]    [296]    [297]    [298]    [299]    [300]    [301]    [302]    [303]    [304]    [305]    [306]    [307]    [308]    [309]    [310]    [311]    [312]    [313]    [314]    [315]    [316]    [317]    [318]    [319]    [320]    [321]    [322]    [323]    [324]    [325]    [326]    [327]    [328]    [329]    [330]    [331]    [332]    [333]    [334]    [335]    [336]    [337]    [338]    [339]    [340]    [341]    [342]    [343]    [344]    [345]    [346]    [347]    [348]    [349]    [350]    [351]    [352]    [353]    [354]    [355]    [356]    [357]    [358]    [359]    [360]    [361]    [362]    [363]    [364]    [365]    [366]    [367]    [368]    [369]    [370]    [371]    [372]    [373]    [374]    [375]    [376]    [377]    [378]    [379]    [380]    [381]    [382]    [383]    [384]    [385]    [386]    [387]    [388]    [389]    [390]    [391]    [392]    [393]    [394]    [395]    [396]    [397]    [398]    [399]    [400]    [401]    [402]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[3815] aaaa2014-01-26 01:23:52

Gondolom azt szeretnéd kérdezni, hogy ha Fn={n-nél kisebb hatványszámok}, akkor mi lesz

\lim_{n\to\infty}\frac{|F_n|}{n}

Lemma 1. \forall\varepsilon,\delta>0\existsk0, hogy k>k0 esetén:

\left|\sum_{i=k}^{[k(1+\varepsilon)] }\frac{1}{i}-\log(1+\varepsilon)\right|<\delta

Ez a szokásos integrálós becslésből kijön, legyen ez házi feladat.

Lemma 2. Ha ai pozitív egészek egy növekvő részsorozata, és \sum a_i^{-1}<\infty, akkor n-1|An|\to0, ha n\to\infty, ha An={ai|ai<n}

Indirekt, tegyük fel, hogy nem áll fent a bemutatott egyenlőség, vagyis létezik olyan \varepsilon, hogy |An|>\varepsilonn végtelen sokszor. Ha nincs ilyen, akkor pont azt kaptuk, amit akartunk. Legyen H_\varepsilon az ilyen n-ek halmaza, ekkor |H|=|N|, vegyük tehát egy olyan bi részsorozatát, ami tudja azt, hogy \varepsilonkbi>bi-1, valamely k>2 egészre. Ekkor Abi>\varepsilonbi miatt a [0,bi-1] intervallumba maximum bi-1<\varepsilonkbi<Abi\varepsilonk-1 darab eshet, szóval elég kevés szám, vagyis a számok legalább 1-\varepsilonk-1-edrésze a jó intervallumba esik. De ekkor az ide eső számok reciprokösszegére alsó becslést ad, ha az intervallumba eső legkisebb számokat vesszük, ebből legalább Abi-Abi-1=bi(\varepsilon-\varepsilonk-1) darab van:

\sum_{a_j\in]b_{i-1},b_i]}\frac{1}{a_j}\geq\sum_{i=[b_i-b_i \varepsilon+\varepsilon^k]}^{b_i}\frac{1}{i}\geq \log\left(1+\frac{\varepsilon-\varepsilon^k}{1-\varepsilon+\varepsilon^k}\right)-\delta

Az első lemma alapján. De legyen b1 akkora, hogy \delta<\tau:=\frac{1}{2}\log\left(1+\frac{\varepsilon^k}{1-\varepsilon+\varepsilon^k}\right) teljesüljön, így azt kaptuk, hogy \sum_{a_j\in]b_{i-1},b_i]}\frac{1}{a_j}\geq \tau>0 De ekkor

\sum_{a_i<b_k} a_i^{-1}=\sum_{j=1}^{k}\sum_{a_i\in]b_{j-1},b_j]}\frac{1}{a_j}\geq\sum_{j=1}^{k}\tau=k\tau

Viszont így a reciprokösszeg nem lehet véges.

Lemma 3. A hatványszámok reciprokösszege kisebb, mint 2. Nézzük ugyanis a kövezkező összeget:

1+\sum_{i=2}^\infty\sum_{j=2}^\infty i^{-j}=1+\sum_{i=2}^\infty\frac{1}{i(i-1)}=2

Viszont ab szerepel az a számhoz tartozó részlegösszegben, szóval a hatványszámok reciprokösszege véges.

Lemma 3 miatt teljesül Lemma 2. feltétele, így a hatványszámok felső sűrűsége 0 az egészek körében.

Előzmény: [3814] Loiscenter, 2014-01-24 20:30:06
[3814] Loiscenter2014-01-24 20:30:06

Hatványszámok valoszinüsége természetes számok körében?

[3813] w2013-11-10 17:40:47

a 13 hatványai és az 1 páratlan :-)

Előzmény: [3812] csábos, 2013-11-10 17:31:27
[3812] csábos2013-11-10 17:31:27

Ügyes, köszi!

Az ahol l tehát páros honnan látszik?

Előzmény: [3811] w, 2013-11-10 16:59:08
[3811] w2013-11-10 16:59:08

201314 mod 73 kiszámítása.

Bár klasszikus feladattípus, szerintem mégis érdekes a megoldás az átlagos feladathoz képest. (Például 999 mod 102 kiszámítása egyszerűbb, hiszen számológéppel is könnyen adódik, hogy 95\equiv-1 (mod 102), ezért elég 99-t mod 10 vizsgálni, ami pedig könnyű.) Most az nem kunszt, ha Euler-Fermat-val lemészároljuk, ámde tökéletesen elfogadható megoldás (ezért tűztem itt ki). Ha egyszerűbb eszközökkel szeretnénk dolgozni, akkor a következő megoldást találhatnánk.

Első célunk keresni olyan n kitevőt, melyre 20n\equiv\pm1 (mod 73). Vegyük észre, hogy 20=7k-1 alakú, ezért a binomiális tétel szerint

20^n=(7k-1)^n=\binom n n (7k)^n\pm\dots+(-1)^{n-3}\binom n3(7k)^3+(-1)^{n-2}\binom n2(7k)^2+(-1)^{n-1}n(7k)+(-1)^{n}.

Tehát célszerű n=72 választása, hisz akkor az utolsó tag kivételével minden tag 73-nel osztható, vagyis 2049\equiv-1 (mod 73).

Vagyis csak 1314-t kell mod 49 megnéznünk. De a binomiális tételt újra alkalmazva kapjuk, hogy 1314\equiv1 (mod 49), mert 13\equiv-1(7). Amiért az adódik, hogy 1314=49\ell+1 alakú, ahol \ell tehát páros. Ebből következik, hogy 201314\equiv20 (mod 73), vagyis az utolsó három számjegy 026.

Előzmény: [3810] csábos, 2013-11-09 16:35:38
[3810] csábos2013-11-09 16:35:38

Igazából az a kérdés, hogy hogyan lehet egyszerűen kiszámolni 13^{14}\frac{}{}-t modulo 49\cdot 6\frac{}{}. Modulo 6 1. Modulo 49 nekem (eddig) úgy a legegyszerűbb, hogy 13^2\equiv 8^3\equiv 22\frac{}{} modulo 49, azaz a 13 köbszám modulo 49, így ha a^3\equiv 13\frac{}{}, akkor 13^{14}\equiv a^{42}\equiv 1\frac{}{}.

Mi a kitűző megoldása?

Előzmény: [3809] jonas, 2013-11-08 13:35:52
[3809] jonas2013-11-08 13:35:52

Igazad van. Valamit elszámolhattam reggel.

Előzmény: [3808] Róbert Gida, 2013-11-08 13:06:53
[3808] Róbert Gida2013-11-08 13:06:53

026 lesz az, hiszen 1314\equiv1mod (7*7*6), így Euler-Fermat miatt (343 és 20 relatív prímek): 201314\equiv201\equiv20mod 343

Előzmény: [3807] jonas, 2013-11-08 08:50:47
[3807] jonas2013-11-08 08:50:47

Szerintem 546 hetes számrendszerben az utolsó három számjegy, de lehet, hogy rosszul számoltam.

Előzmény: [3806] w, 2013-11-07 16:09:11
[3806] w2013-11-07 16:09:11

Nekem is van egy saját készítésű szép számelméletfeladatom, bár ez évszámok használatának árán könnyebb lesz.

Határozzuk meg a 201314 hatvány 7-es számrendszerbeli alakjában az utolsó három számjegyet.

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]    [161]    [162]    [163]    [164]    [165]    [166]    [167]    [168]    [169]    [170]    [171]    [172]    [173]    [174]    [175]    [176]    [177]    [178]    [179]    [180]    [181]    [182]    [183]    [184]    [185]    [186]    [187]    [188]    [189]    [190]    [191]    [192]    [193]    [194]    [195]    [196]    [197]    [198]    [199]    [200]    [201]    [202]    [203]    [204]    [205]    [206]    [207]    [208]    [209]    [210]    [211]    [212]    [213]    [214]    [215]    [216]    [217]    [218]    [219]    [220]    [221]    [222]    [223]    [224]    [225]    [226]    [227]    [228]    [229]    [230]    [231]    [232]    [233]    [234]    [235]    [236]    [237]    [238]    [239]    [240]    [241]    [242]    [243]    [244]    [245]    [246]    [247]    [248]    [249]    [250]    [251]    [252]    [253]    [254]    [255]    [256]    [257]    [258]    [259]    [260]    [261]    [262]    [263]    [264]    [265]    [266]    [267]    [268]    [269]    [270]    [271]    [272]    [273]    [274]    [275]    [276]    [277]    [278]    [279]    [280]    [281]    [282]    [283]    [284]    [285]    [286]    [287]    [288]    [289]    [290]    [291]    [292]    [293]    [294]    [295]    [296]    [297]    [298]    [299]    [300]    [301]    [302]    [303]    [304]    [305]    [306]    [307]    [308]    [309]    [310]    [311]    [312]    [313]    [314]    [315]    [316]    [317]    [318]    [319]    [320]    [321]    [322]    [323]    [324]    [325]    [326]    [327]    [328]    [329]    [330]    [331]    [332]    [333]    [334]    [335]    [336]    [337]    [338]    [339]    [340]    [341]    [342]    [343]    [344]    [345]    [346]    [347]    [348]    [349]    [350]    [351]    [352]    [353]    [354]    [355]    [356]    [357]    [358]    [359]    [360]    [361]    [362]    [363]    [364]    [365]    [366]    [367]    [368]    [369]    [370]    [371]    [372]    [373]    [374]    [375]    [376]    [377]    [378]    [379]    [380]    [381]    [382]    [383]    [384]    [385]    [386]    [387]    [388]    [389]    [390]    [391]    [392]    [393]    [394]    [395]    [396]    [397]    [398]    [399]    [400]    [401]    [402]