[3875] Micimackó | 2014-03-25 23:26:34 |
Adott n-re, mennyi az n elemű halmaz fixpont mentes permutációinak paritása?
|
|
|
[3873] jonas | 2014-03-13 21:13:23 |
Helyes, a véges várható érték. Akkor most jön a megoldás trükkösebb része.
Rögztsük a játékos egy stratégiáját. Jelölje Fn a játék állapotát n lépés után. Ez tartalmazza a játékos által kiválasztott két golyót és a játékvezető érmedobását az első n lépésben.
Legyen Xn az a szám, ahányféleképpen a játékos megválaszthatná a két különböző golyót az (n+1)-edik lépésében. Azért számozom így, mert Xn az Fn függvénye. Nyilván X0=n(n-1), mivel a kezdőhelyzetben bármely két golyó különböző. Feltéve, hogy a játék n lépés után még nem ért véget, számoljuk ki az E(Xn+1-Xn|Fn) feltételes várható értéket!
Ha ez megvan, akkor alkalmazzuk a martingál megállási tételt egy megfelelő martingálra, és ezzel oldjuk meg az (a) és (b) feladatot.
|
Előzmény: [3872] Róbert Gida, 2014-03-13 17:22:28 |
|
[3872] Róbert Gida | 2014-03-13 17:22:28 |
Nem jött megoldás, így lelövöm. Kezdetben n szín van, a játék véget ér, ha egy szín marad. Tetszőleges n2 egymásutáni fordulóban (1 forduló amikor 2 golyót a játékvezetőnek adunk és 2-t visszakapunk) van olyan szín ami legalább n-szer szerepel az odaadott golyószínek között (skatulyaelv, sőt van ami legalább 2n-szer), és legfeljebb persze n2-szer (mindez stratégiától függetlenül igaz). Ha ezen fordulók mindegyikében pont a másik színből adott vissza a játékvezető, akkor ebből a színből több nem marad (és később sem jöhet "vissza" a szabályok miatt). Ennek valószínűsége legalább . Nézzünk n-1 egymásutáni blokkot, azaz n2 hosszú fordulót, ha minden blokkban vesztünk egy színt, akkor a játék természetesen véget ér, ennek a valószínűsége legalább q=rn-1. Azaz annak a valószínűsége, hogy n2(n-1) fordulóban befejeződik a játék legalább q, így annak a valószínűsége, hogy nem fejeződik be a játék legfeljebb s=1-q<1.
Ebből már készen vagyunk, mert ekkor Pr2(m)=Pr(játék m lépésben nem fejeződik be)<c*pm, ahol c>0,p<1 (Miért is? Bontsuk fel az m fordulót n2(n-1) hosszú fordulókra, bármelyiket is választjuk legfeljebb s<1 valószínűséggel nem ér benne véget a játék, így m forduló után is játszunk legfeljebb valószínűséggel .)
Legyen Pr1(m)=Pr(játék pontosan m lépésben ér véget), ekkor , azaz véges a várható érték, stratégiától függetlenül.
Sőt itt valamivel többet is beláttam, hiszen c,p csak n-től függött (de a stratégiától nem), azaz létezik v(n) véges szám, hogy a várható érték kisebb, mint v(n). Itt v(n) egyébként ki is számolható.
|
Előzmény: [3871] jonas, 2014-03-12 10:10:43 |
|
|
[3870] jonas | 2014-03-11 21:03:52 |
Ezt a feladatot nem volt jó ötlet ezen a fórumon feladnom, mert a megoldásához túl sok előismeret kell. A középiskolás fórumozóktól ezért elnézést kérek.
|
Előzmény: [3861] jonas, 2014-03-09 16:36:46 |
|
[3869] jonas | 2014-03-11 17:42:59 |
Aha, értem! Bocsánat, hogy nem fogalmaztam egyértelműen. Valóban, a játékvezető nem adja vissza a két golyót, amit odaadtál neki, így minden lépés után pontosan n golyó lesz nálad.
|
Előzmény: [3868] Róbert Gida, 2014-03-11 17:28:14 |
|
[3868] Róbert Gida | 2014-03-11 17:28:14 |
Jó a megoldásom, csak egy másik feladatra. Az persze számomra nem volt világos, hogy a játékvezető a két golyót lenyúlja amit odaadsz neki, így persze nálad mindig n golyó lesz, az én feladatomban pedig minden lépés után 2-vel több.
|
Előzmény: [3867] jonas, 2014-03-11 11:46:28 |
|
[3867] jonas | 2014-03-11 11:46:28 |
A számok, amiket megadtál, szerintem nem stimmelnek. n=3 esetén az első lépés után három golyóból két egyforma színű, és egy különböző lesz. Ez után minden további lépés után 1/2 valószínűséggel nyertél, 1/2 valószínűséggel visszajutsz egy hasonló állapothoz, csak most a másik színből van két golyód, mint az előbb. Így aztán biztosan legalább 2 lépés kell a nyerésig, nem 1, mint a táblázatban mutatod. Nem nehéz belátni, hogy a lépések várható száma pontosan 3.
Látható, hogy n=3 esetén még lényegében nincs választásod a játék során. A következő, n=4 esetben már van választásod. Például ha az első lépés után két fehér, egy sárga, és egy piros golyód van, akkor kétféleképpen dönthetsz. Odaadhatod a játékvezetőnek a sárga és a piros golyót, ez a kevésbé kockázatos stratégia, mert ekkor legközelebb biztosan két fehér és két másik azonos színű golyód van. Vagy kockáztathatsz, odaadva a játékvezetőnek egy fehér és egy sárga golyót, ekkor 1/2 valószínűséggel már három fehér golyód lesz, amivel közelebb jutottál a nyeréshez; de 1/2 valószínűséggel két sárga, egy fehér és egy piros golyód lesz, amivel helyben maradtál.
Te választod meg a stratégiát, de a feladat kitűzésében azt állítottam, hogy a lépések számának várható értéke bármely stratégia esetén ugyanannyi.
|
Előzmény: [3864] Róbert Gida, 2014-03-10 21:20:33 |
|
|