[3932] w | 2014-09-15 17:56:02 |
 Kíváncsi vagyok, hányan ismerik:
Legyen &tex;\displaystyle n&xet; pozitív egész szám, és tekintsük bármely &tex;\displaystyle S=(a_0,\dots,a_n)&xet; egész számokból álló sorozathoz a
&tex;\displaystyle f(S)=\prod_{0\le i<j\le n}(a_j-a_i)&xet;
szorzatot. Ezzel az összes ilyen számsorozathoz egy-egy egész számot rendeltünk. Mi a legnagyobb olyan pozitív egész, amely minden &tex;\displaystyle f(S)&xet; számot osztja?
|
|
[3931] w | 2014-09-15 17:51:48 |
 Erre lényegét tekintve csak egyetlen bizonyítást ismerek, de jó meggondolni, hogy hányféleképpen mondható el. Talán a legrövidebb magyarázat a következő.
Vegyük észre, hogy az egyenlet ekvivalens a következő nyilvánvaló ténnyel:
&tex;\displaystyle \left|\left\{(k,a)\in N^2:\quad 0<k^ta\le x^t\right\}\right|=\left|\left\{(k,b)\in N^2:\quad 0<k^{1/t}b\le x\right\}\right|,&xet; | QED. |
Megjegyzés. Ha nadorp gondolatmenetét akarjuk átvinni, a következő szemléletesebb modellel lehet a legérdekesebb elmondani (lásd akár a 2013-as IMO shortlist A4 feladatát). Rajzoljunk egy oszlopdiagramot a derékszögű koordinátarendszer első síknegyedébe, méghozzá úgy, hogy az &tex;\displaystyle x&xet;-tengelyen a &tex;\displaystyle k&xet;-adik egységszakasz fölé &tex;\displaystyle \left[\frac{x}{k^{1/t}}\right]&xet; magasságú oszlopot rajzolunk. Az oszlopok együttes területe így a jobb oldalt adja ki, és persze az oszlopok "ereszkednek". Most képzeljük el mindezt, mint egy sordiagramot: nézzük meg, hogy milyen hosszú sor lóg ki az &tex;\displaystyle y&xet;-tengely &tex;\displaystyle k&xet;-adik egységszakaszán. Ez a sor éppen addig tart, amíg az &tex;\displaystyle a&xet;-adik oszlop magassága legalább &tex;\displaystyle k&xet;, avagy amíg
&tex;\displaystyle \left[\frac{x}{a^{1/t}}\right]\ge k,&xet;
&tex;\displaystyle \frac{x}{a^{1/t}}\ge k,&xet;
&tex;\displaystyle \frac{x^t}{k^t}\ge a,&xet;
&tex;\displaystyle \left[\frac{x^t}{k^t}\right]\ge a.&xet;
Más szóval, az (alulról) &tex;\displaystyle k&xet;-adik sor hossza éppen &tex;\displaystyle \left[\frac{x^t}{k^t}\right]&xet;, és ezzel kaptuk, hogy a bal oldali összeg is a diagram területét adja ki.
|
Előzmény: [3930] w, 2014-09-09 19:55:20 |
|
[3930] w | 2014-09-09 19:55:20 |
 Az általánosításban szükségszerű pozitív egészekre szorítkozni? Igaz-e, hogy ha &tex;\displaystyle x,t>0&xet;, akkor
&tex;\displaystyle \sum_{k=1}^\infty \bigg[\frac{x^t}{k^t}\bigg]=\sum_{k=1}^\infty \bigg[\frac x{k^{1/t}}\bigg].&xet;
|
Előzmény: [3929] nadorp, 2014-09-09 10:23:38 |
|
[3929] nadorp | 2014-09-09 10:23:38 |
 Ha &tex;\displaystyle 1\leq k\leq n^2&xet; egész és &tex;\displaystyle \left[\frac{n}{\sqrt{k}}\right]=a&xet;, akkor nyilván &tex;\displaystyle 1\leq a\leq n&xet; ,továbbá
&tex;\displaystyle \frac{n^2}{(a+1)^2}<k\leq\frac{n^2}{a^2} &xet; | (1) |
Legyen &tex;\displaystyle I_a=\bigg(\frac{n^2}{(a+1)^2};\frac{n^2}{a^2}\bigg]&xet; balról nyílt, jobbról zárt intervallum (&tex;\displaystyle 1\leq a\leq n&xet; egész). Ekkor az &tex;\displaystyle I_a&xet; intervallumok diszjunktak, uniójuk tartalmazza az összes egészt 1 és n között, mégpedig mindegyik &tex;\displaystyle I_a&xet; pontosan &tex;\displaystyle \left[\frac{n^2}{a^2}\right]-\left[\frac{n^2}{(a+1)^2}\right]&xet; egészt tartalmaz. Mivel &tex;\displaystyle k\in I_a&xet; pontosan akkor teljesül, ha &tex;\displaystyle \left[\frac{n}{\sqrt{k}}\right]=a&xet;, ezért
&tex;\displaystyle \sum_{k=1}^{n^2}\left[\frac{n}{\sqrt{k}}\right]=\sum_{a=1}^{n}\sum_{k\in I_a}\left[\frac{n}{\sqrt{k}}\right]=\sum_{a=1}^{n}a\left(\left[\frac{n^2}{a^2}\right]-\left[\frac{n^2}{(a+1)^2}\right]\right)=\sum_{a=1}^{n}\left[\frac{n^2}{a^2}\right]&xet;
Általánosítás:
Tetszőleges n,m pozitív egészre
&tex;\displaystyle \sum_{k=1}^{n^m}\left[\frac{n}{\root{m}\of{k}}\right]=\sum_{k=1}^{n}\left[\frac{n^m}{k^m}\right]&xet;
|
Előzmény: [3928] w, 2014-09-03 16:17:04 |
|
[3928] w | 2014-09-03 16:17:04 |
 Jelölje &tex;\displaystyle [x]&xet; az &tex;\displaystyle x&xet; egészrészét. Bizonyítsuk be, hogy
&tex;\displaystyle \left[\frac{n^2}{1^2}\right]+\left[\frac{n^2}{2^2}\right]+\dots+\left[\frac{n^2}{n^2}\right]=\left[\frac{n}{\sqrt{1}}\right]+\left[\frac{n}{\sqrt{2}}\right]+\dots+\left[\frac{n}{\sqrt{n^2-1}}\right]+\left[\frac{n}{\sqrt{n^2}}\right].&xet;
Keressünk általánosítást is.
|
|
|
|
|
[3924] Loiscenter | 2014-08-12 18:31:27 |
 Legyenek &tex;\displaystyle x_1&xet; , &tex;\displaystyle x_2&xet; , ... , &tex;\displaystyle x_n&xet; pozitiv számok, melyeknek összegük n azaz &tex;\displaystyle x_1 + x_2 +...+ x_n = n&xet;.
Igaz -e a következö egyenlötlenség:
&tex;\displaystyle x_1^k.x_2^k...x_n^k &xet; ( &tex;\displaystyle x_1^{k+1}&xet; + &tex;\displaystyle x_2^{k+1}&xet; +....+ &tex;\displaystyle x_n^{k+1}&xet; ) =< &tex;\displaystyle x_1^k+x_2^k +....+ x_n^k .&xet;
|
|
[3923] Loiscenter | 2014-08-12 17:59:22 |
 Multkor kéedeztem a következö feladatot
ROKA SÁNDOR: 2000 feladat.... ( 1780. feladat) Adott 35 pozitiv egész szám, amelyek összege 100, és egyikük sem nagyobb 50-nél. Bizonyitsuk be, hogy van köztük néhány olyan, amelyek összege 50.
Most Ehhez a témához kapcsolatban szeretnék segitséget megint kérni. A szakirodalmakrol és közelálló eredményekrol adnatok valamilyen tampontot hogy elinduljak! köszönöm szépen elöre! N.V. Loi.
|
|