Fórum: Érdekes matekfeladatok

Bocs! Elkeztem begépelni a hozzászólást és közben érettségiztettem, aztán csak egy óra múlva küldtem el, így nem láttam a hozzászólásodat!

Komplex számok ismerete nélküli megoldásként én arra gondoltam...

Igen, ez az egyszerű, de a második hozzászólásomban erre már én is rájöttem :-)

Az alapállítást f(1)=-1 jelenti, csak (*)-ból nem jöhet ki az állítás.

Teljesen jogos, pontatlanul fogalmaztam. A megoldás vázlata kb. így néz ki:

f(k+3)=f(k)f(3)-f(k-3)=2f(k)-f(k)=f(k), kihasználva az indukciót, a (*) összefüggést, valamint azt, hogy f(3)=2. Utóbbi pedig könnyen látszik, még ha nem is közvetlenül számolunk, akkor is: f(2)=f(1)f(1)-f(0)=1-2=-1, f(3)=f(1)f(2)-f(1)=(-1)²-(-1)=2

Tudom, túlragoztam a dolgot...

Szia Sirpi!

Tetszik az f(k) függvényed! Az alapállítást f(1)=-1 jelenti, csak (*)-ból nem jöhet ki az állítás.

Komplex számok ismerete nélküli megoldásként én arra gondoltam, hogy mivel a=1 nem megoldása az egyenletnek, be lehet szorozni mindkét oldalt (a-1)-el.

Így (a-1)(a²+a+1)=0 vagyis a³-1=0 és ha a³=1 akkor persze a²⁰⁰⁴=1, tehát a keresett kifejezés értéke 2.

Persze a megoldás elég "misztikus" annak aki a komplex számokat nem ismeri. Hogy lehet az, hogy a1 és a³=1?

Lehet, hogy elbonyolítottam...

0=0(a-1)=(a²+a+1)(a-1)=a³-1, ahonnan a³=1. Innen pedig a²⁰⁰⁴=(a³)⁶⁶⁸=1, ennek a reciproka is 1, összegük 2, ez tehát a végeredmény. Hogy minek gépeltem az előbb ennyit???

Ez a 84. feladat poénos. A valós számok korében ugyanis nem teljesül a kezdeti feltétel, hiszen , de ettől pl. a komplex számok körében meg lehet a feladatot oldani.

Viszont az is meg tudja oldani a feladatot, aki nem is hallott a komplex számokról.

Vezessük be a következő jelölést: f(k)=a^k+a^-k.

Ekkor f(k)f(l)=(a^k+a^-k)(a^l+a^-l)=(a^k+l+a^-(k+l))+(a^k-l+a^-(k-l))=f(k+l)+f(k-l)

Vagyis: f(k+l)=f(k)f(l)-f(k-l) (*)

Mi éppen f(2004)-et akarjuk kiszámolni. Amit tudunk a fenti összefüggésen kívül, az az, hogy f(0)=2, f(1)=-1 és f(k)=f(-k) minden egész k-ra.

Állítás: f(k+3)=f(k) minden k-ra, ez indukcióval bizonyítható a (*) összefüggésből (ezt a részt, ami nem is túl nehéz, rábízom másra). Innen f(2004)=f(0)=2.

/persze tudom, hogy a egy harmadik egységgyök, és innen triviálisan kijön a 2, mint megoldás, de elemi módszerekkel próbáltam a feladatot megoldani./

84. feladat: Ha a²+a+1=0, akkor mennyi az értéke a

kifejezésnek?

Kedves László!

Gratula, a feladat megoldva. Ti. a séta mindennapos esemény, így már másnap kimegy az első és kezdődhet a kapcsolgatás, továbbá a kapcsoló tényleg kezdetben lekapcsolt állapotban van, így ez nem probléma.

Ezzel kapcsolatban eszembe jutott egy bónusz kérdés.

Határozzuk meg annak valószínűségét, hogy pontosan 1, 2, .. stb. év múlva milyen valószínűséggel lesznek még benn a rabok. (Szökőnapokat praktikusan nem vegyük számításba.)

HK

Kedves Károly!

Kösz a biztatást!

Megörültem, hogy Gyuri a feladatba beleírta, hogy tfh. a kapcsoló le van kapcsolva, de nyilván foglalkozni kell azzal az esettel is ha először felkapcsolt helyzetben van.

Azt hiszem erre az lenne a legjobb megoldás, hogy a megbeszélésen ne jelöljenek ki egy fix számoló embert, hanem kimondják, legyen az a számoló akit a megbeszélés utáni első nap visznek ki sétálni. Mikor kimegy lekapcsolt helyzetbe állítja a kapcsolót és kezdődhetnek a számolási körök.

Ha a kapcsoló alaphelyzete nem ismert és előre kijelölik a számláló embert, akkor az a probléma, hogy amikor először kijut a számláló és azt látja, hogy a kapcsoló fel van kapcsolva, nem tudja, hogy ez volt a kapcsoló alaphelyzete, vagy az első ember kapcsolta fel. Így a számolás 1-el csúszhat.

Erre az a megoldás, hogy megbeszélik előre, hogy akit a megbeszélés utáni első nap visznek ki, az mindenképpen fel állásba állítja a kapcsolót akárhogy is állt és többször nem kapcsol ha máskor kiviszik sétálni.

Még egy probléma lehet, ha a rabok nem tudják előre, hogy a megbeszélés után hányadik naptól kezdve visznek ki minden nap egy embert sétálni.

Ekkor, akit pl a 2. napon visznek ki sétálni, azt gondolhatja, lehet, hogy ő az első. Ezen még gondolkodom.

Kedves László!

A feladat lényegét már megoldottad, csak a kezdeti ún. "peremfeltételeket" kellene még tisztázni. Ki lesz a kijelölt ember, milyen állapotban van kezdetben a kapcsoló és ezt ki kapcsolta oda. Mi történik addig, míg először kiengedik a kijelölt embert?

Üdv: HK

82.feladathoz: Mivel csak egy kétállású kapcsolónk van, ezzel csak 1 embert lehet "megszámolni" azután vissza kell állítani alaphelyzetbe. Tehát ki kell jelölni egy nullázó-számlázó embert a rabok közül. Ezenkívül megegyeznek, hogy minden ember csak egyszer kapcsolhatja fel a kapcsolót, de csak akkor ha a sétája során lekapcsolva találja.

Így a számláló ember két sétája között, ha kiengednek egy új embert is, akkor az felkapcsolja a kapcsolót. A számláló ember a következő sétáján megnézi a kapcsolót, ha felkapcsolva találja, akkor növeli eggyel a már kiengedett rabok számát és lekapcsolja a kapcsolót, ha lekapcsolva találja, akkor nem járt kint közben új ember.

Tudja, hogy a rabok száma n, így n-1-nél már szólhat, hogy mindenki járt kint.

Hát, elég sokáig eltarthat a dolog, de mivel minden rab csak egyszer kapcsolhatja fel a kapcsolót, a számláló előbb-utóbb eljut n-1-ig és akkor kiszabadulnak.