Fórum: Érdekes matekfeladatok

85. feladat: Oldjuk meg az egész számok halmazán a következő egyenletet:

(x+y)²-4(x-y)=13

Kedves Mihály!

Ahhoz, hogy egy valós függvény deriváltját a 0-ban kiszámolhassuk, szükséges, hogy a függvény értelmezve legyen legalább egy 0-hoz torlódó pontsorozat mentén.

Nem beszélhetünk tehát "csak az origóban deriválható függvényről, amely ott ráadásul kétszer is deriválható", hiszen a második derivált 0-beli értékének kiszámításához az előző bekezdés értelmében ismernünk kellene az első derivált értékeit egy 0-hoz torlódó pontsorozat mentén. Mivel azonban az első derivált csak a 0-ban van definiálva, ez nem lehetséges.

A válasz tehát, hogy ilyen függvény nincs.

Mutassunk példát olyan valós függvényre, ami csak a 0-ban differenciálható, de ott kétszer is.

Bocs! Elkeztem begépelni a hozzászólást és közben érettségiztettem, aztán csak egy óra múlva küldtem el, így nem láttam a hozzászólásodat!

Komplex számok ismerete nélküli megoldásként én arra gondoltam...

Igen, ez az egyszerű, de a második hozzászólásomban erre már én is rájöttem :-)

Az alapállítást f(1)=-1 jelenti, csak (*)-ból nem jöhet ki az állítás.

Teljesen jogos, pontatlanul fogalmaztam. A megoldás vázlata kb. így néz ki:

f(k+3)=f(k)f(3)-f(k-3)=2f(k)-f(k)=f(k), kihasználva az indukciót, a (*) összefüggést, valamint azt, hogy f(3)=2. Utóbbi pedig könnyen látszik, még ha nem is közvetlenül számolunk, akkor is: f(2)=f(1)f(1)-f(0)=1-2=-1, f(3)=f(1)f(2)-f(1)=(-1)²-(-1)=2

Tudom, túlragoztam a dolgot...

Szia Sirpi!

Tetszik az f(k) függvényed! Az alapállítást f(1)=-1 jelenti, csak (*)-ból nem jöhet ki az állítás.

Komplex számok ismerete nélküli megoldásként én arra gondoltam, hogy mivel a=1 nem megoldása az egyenletnek, be lehet szorozni mindkét oldalt (a-1)-el.

Így (a-1)(a²+a+1)=0 vagyis a³-1=0 és ha a³=1 akkor persze a²⁰⁰⁴=1, tehát a keresett kifejezés értéke 2.

Persze a megoldás elég "misztikus" annak aki a komplex számokat nem ismeri. Hogy lehet az, hogy a1 és a³=1?

Lehet, hogy elbonyolítottam...

0=0(a-1)=(a²+a+1)(a-1)=a³-1, ahonnan a³=1. Innen pedig a²⁰⁰⁴=(a³)⁶⁶⁸=1, ennek a reciproka is 1, összegük 2, ez tehát a végeredmény. Hogy minek gépeltem az előbb ennyit???

Ez a 84. feladat poénos. A valós számok korében ugyanis nem teljesül a kezdeti feltétel, hiszen , de ettől pl. a komplex számok körében meg lehet a feladatot oldani.

Viszont az is meg tudja oldani a feladatot, aki nem is hallott a komplex számokról.

Vezessük be a következő jelölést: f(k)=a^k+a^-k.

Ekkor f(k)f(l)=(a^k+a^-k)(a^l+a^-l)=(a^k+l+a^-(k+l))+(a^k-l+a^-(k-l))=f(k+l)+f(k-l)

Vagyis: f(k+l)=f(k)f(l)-f(k-l) (*)

Mi éppen f(2004)-et akarjuk kiszámolni. Amit tudunk a fenti összefüggésen kívül, az az, hogy f(0)=2, f(1)=-1 és f(k)=f(-k) minden egész k-ra.

Állítás: f(k+3)=f(k) minden k-ra, ez indukcióval bizonyítható a (*) összefüggésből (ezt a részt, ami nem is túl nehéz, rábízom másra). Innen f(2004)=f(0)=2.

/persze tudom, hogy a egy harmadik egységgyök, és innen triviálisan kijön a 2, mint megoldás, de elemi módszerekkel próbáltam a feladatot megoldani./

84. feladat: Ha a²+a+1=0, akkor mennyi az értéke a

kifejezésnek?

Kedves László!

Gratula, a feladat megoldva. Ti. a séta mindennapos esemény, így már másnap kimegy az első és kezdődhet a kapcsolgatás, továbbá a kapcsoló tényleg kezdetben lekapcsolt állapotban van, így ez nem probléma.

Ezzel kapcsolatban eszembe jutott egy bónusz kérdés.

Határozzuk meg annak valószínűségét, hogy pontosan 1, 2, .. stb. év múlva milyen valószínűséggel lesznek még benn a rabok. (Szökőnapokat praktikusan nem vegyük számításba.)

HK