Fórum: Érdekes matekfeladatok

Kedves Vizi Dávid!

Üdvözöllek a Fórumon és kösz a szellemes megoldást! A forma az nem tetszik! Ha nem haragszol meg érte, gyorsan átírom:

Vezessük be az és jelöléseket.

Így az egyenletek:

2^a4+b2+2^a2+b4=8

a+b=2

Most az egyenlet bal oldalára alkalmazzuk a számtani és a mértani közép közötti egyenlőtlenséget, ebből:

Felhasználva, hogy

a²+b²=(a+b)²-2ab  es  ÿ(a+b)²=42aba⁴+b⁴

Bevezetjük az a=1-d és b=1+d jelöléseket, ezeket behelyettesítve:

2-2d²2d⁴+12d²+2

azaz  02d⁴+14d²

innen már simán látszik, hogy d=0,ezek szerint a=b=1, tehát x=y=1 az egyetlen megoldás.

Bocsánat, de most regisztráltam, úgyhogy még nem volt lelkierőm végig csinálni ezt a TeX tanfolyamot. Jobb híján a ? a hatványozás jele. A 93-as megoldása: Vezessük be az sqrt(x)=a és sqrt(y)=b jelöléseket. Így az első egyenlet: 2?(a?4+b?2)+2?(a?2+b?4)=8 Most az egyenlet bal oldalára alkalmazzuk a számtani és a mértani közép közötti egyenlőtlenséget, ebből: 4>=a?4+b?4+a?2+b?2 Felhasználva, hogy a?2+b?2=(a+b)?2-2ab 2ab>=a?4+b?4 Bevezetjük az a=1-d és b=1+d jelöléseket, ezeket behelyettesítve: 2-2d?2>=2d?4+12d?2+2, azaz 0>=2d?4+14d?2, innen már simán látszik, hogy d=0, ezek szerint a=b=1, tehát x=y=1 az egyetlen megoldás.

94. Feladat: Legalább hány lottószelvényt kell kitölteni ahhoz, hogy biztosan legyen hármas találatunk?

"Mi a helyzet akkor, ha nincsen kalapjuk meg kavicsuk, csak papíruk és ceruzájuk?" Ugyanaz a helyzet mint akkor, amikor kavicsokat dobáltak. Mondjuk 1. annyi szakaszt húz, ahány éves, aztán behajtja a lapot. 2. pedig itt folytatja a vonalhúzogatást. A lap visszahajtása után a szakaszok határa nem látható. (Feltesszük, hogy eközben más nem néz a lapra.)

93. feladat: Oldjuk meg az egyenletrendszert!

2^x2+y+2^x+y2=8

93.feladat: Oldjuk meg az egyenletrendszert!

2^x2+y+2^x+y2=8

sqrtx+sqrty=2

Kedves joe!

A 92. feladat tipikusan méricskélős feladat, így a biliárdgolyós topikban válaszolok rá.

HK

92. feladat: Van két piros, két fehér és két zöld golyónk. Az azonos színűek közül az egyik 100, a másik 101 grammos. Egy kétkarú mérleg segítségével, mérősúlyok nélkül, két méréssel állapítsuk meg mindegyik golyó súlyát!

Sziasztok!

Megoldás a 71. feladatra.

Színezzük pirossal és kékkel a sakktáblát. Elég belátni, hogy vagy (a) van minden oszlopot érintő piros út, vagy (b) van minden sort érintő kék út, mert (a) esetben a piros, (b) esetben a kék rész járható végig.

Nyilván feltehetjük, hogy nincsen sem egyszínű sor, sem egyszínű oszlop. Ha bármelyik két szomszédos oszlopnál a piros mezők közt van valahol "átjárás", akkor az (a) eset teljesül, ezért feltehetjük, hogy az i-edik oszlop piros mezőiről nincs átjárás az (i+1)-edik oszlop piros mezőire. Ekkor ez a két oszlop tartalmazni fog egy (b) szerinti kék utat, mert egyrészt az i-edik oszlop piros pontjai mellett az (i+1)-edik oszlopban kék pontok vannak, tehát a két oszlop kék színű pontjai az összes sort lefogják, másrészt az i-edik oszlop nem egyszínű, így valamelyik piros mezőjének van függőleges kék szomszédja is, ami a vízszintes kék szomszédjával átlósan összeköthető.

Kedves Csimby!

Bocsi, hogy ilyen "jó" a reakcióidőm... táborozni voltam. A négy dimenziós kockának csak a megoldását tudom, a füzetemet meg még nem találtam meg, amibe leírtam!;)

De keresem...:)

A Gordiuszon mesélte egy srác, hogy a sulijában páran összefogva elemezték a SET-et, olyan k és l paraméterekre, hogy k a tulajdonságok száma, l egy tulajdonságon belül a lehetőségek száma. Erre is sikerült asszem megadniuk a maximális húzható lapot...

A fodrászos feladathoz pedig 2 dolog jutott eszembe:

1. Egy másik megoldásötlet: Hívjuk vissza Gedeon bácsit, de előtte a három nő beszéljen meg egy X számot! Majd egyenként mondják meg neki életkor +X értékét. Ekkor Gedeon bácsi tudja a sorrendet, de nem tudja a valós életkort!:)

2. Egy kérdés: Összejátszhat-e bármely 2 nő a harmadik életkorának megismeréséért? / szóval kibeszélik-e;)) / Mert, ha feladatod azt kéri, még öszejátszással se lehessen kideríteni, akkor az eddigi két ötletem nem volt jó...:)