| [451] Káli gúla | 2004-09-01 14:58:15 |
 nem is kell minden lehetséges hármast lefedni ...
Két nagyon egyszerű szűkítés:
(a) Vegyük a páratlan hármasokat és a páros hármasokat, ez összesen  = 28380.
(b) Öt szám között van három azonos mod 3, vagy három különböző mod 3, így elég:
Kedves Károly,
Az "egyszerűbb változat" a kettesekkel egyáltalán nem egyszerű, a pontos küszöb sokáig megoldatlan probléma volt.
|
| Előzmény: [449] V. Dávid, 2004-09-01 13:31:43 |
|
| [450] Hajba Károly | 2004-09-01 14:48:50 |
 Kedves László!
Dávidnak teljesen igaza van. A feladat egyszerűbb esetét tekintve, ha csak egy számot szeretnék mindenképpen eltalálni, elég 18 szelvényt kitölteni, de ha csak 89 szám közül kellene 5-öt húzni, akkor 17 is elég lenne.
Mintha valahol láttam/halottam, hogy 2 számhoz kb. 100 szelvényt kellene megfelelő módon kitölteni. Javaslom, hogy a feladat megoldásához először ezen egyszerűbb változatát próbáljuk megoldani tételes szelvénykitöltéssel együtt.
HK
|
| Előzmény: [448] lorantfy, 2004-09-01 11:54:06 |
|
| [449] V. Dávid | 2004-09-01 13:31:43 |
 Kedves Lorantfy! A feladat lényege, hogy legalább hány lottószelvényre van szükség. A te megoldásod szerint 43913143-ra, ez mindössze 36125-tel kevesebb, mint amennyi a biztos ötöshöz kell. Ennél nyilván sokkal kevesebb is elég. Egy felső becslés: ha minden szelvényen csak egyetlen hármast számítunk, még 117480 is sok. De minden szelvény 10 lehetséges hármast fed le, ráadásul nem is kell minden lehetséges hármast lefedni, csak arra van szükség bármely öt szám közül ki lehessen választani hármat úgy, hogy ez a három szám a valamelyik megjelölt szelvény öt száma közül hárommal egyezzen. Még érdekesebb kérdés, hogy hogyan kell kitölteni a szelvényeket.
|
| Előzmény: [448] lorantfy, 2004-09-01 11:54:06 |
|
| [448] lorantfy | 2004-09-01 11:54:06 |
 94. feladat megoldása: Gondolom a hagyományos 90/5-ös lottóra gondoltál. Kitöltjük azokat a szelvényeket amelyeken nincs találat, majd azokat amelyeken pontosan 1 találat van, majd a pontosan 2 találatosokat és a következő, mindezektől különböző szelvényen már biztosan lesz legalább 3 találat:
|
| Előzmény: [444] V. Dávid, 2004-08-31 18:58:40 |
|
| [447] V. Dávid | 2004-09-01 10:16:19 |
|
Én is üdvözlök mindenkit itt a fórumon. Ezt a feladatot magam találtam ki, és kíváncsi vagyok, hogy milyen gondolkodtatóra sikerült: 95. Feladat: van n darab valós számunk. A k-adik lépésben minden lehetséges módon kiválasztunk ezek közül k-t, ezeket összeszorozzuk, és az így kapott k tényezős szorzatokat összeadjuk. k=1..n (Példa n=3 és k=2-re: x1x2+x1x3+x2x3) Mind az n összeg pozitív. Bizonyítsuk be, hogy a kiindulásul választott összes szám pozitív.
|
|
| [446] lorantfy | 2004-09-01 08:54:19 |
|
Kedves Vizi Dávid!
Üdvözöllek a Fórumon és kösz a szellemes megoldást! A forma az nem tetszik! Ha nem haragszol meg érte, gyorsan átírom:
Vezessük be az  és  jelöléseket.
Így az egyenletek:
2a4+b2+2a2+b4=8
a+b=2
Most az egyenlet bal oldalára alkalmazzuk a számtani és a mértani közép közötti egyenlőtlenséget, ebből:
Felhasználva, hogy
a2+b2=(a+b)2-2ab es ÿ(a+b)2=4 2ab a4+b4
Bevezetjük az a=1-d és b=1+d jelöléseket, ezeket behelyettesítve:
2-2d22d4+12d2+2
azaz 02d4+14d2
innen már simán látszik, hogy d=0,ezek szerint a=b=1, tehát x=y=1 az egyetlen megoldás.
|
| Előzmény: [445] V. Dávid, 2004-08-31 21:09:49 |
|
| [445] V. Dávid | 2004-08-31 21:09:49 |
|
Bocsánat, de most regisztráltam, úgyhogy még nem volt lelkierőm végig csinálni ezt a TeX tanfolyamot. Jobb híján a ? a hatványozás jele. A 93-as megoldása: Vezessük be az sqrt(x)=a és sqrt(y)=b jelöléseket. Így az első egyenlet: 2?(a?4+b?2)+2?(a?2+b?4)=8 Most az egyenlet bal oldalára alkalmazzuk a számtani és a mértani közép közötti egyenlőtlenséget, ebből: 4>=a?4+b?4+a?2+b?2 Felhasználva, hogy a?2+b?2=(a+b)?2-2ab 2ab>=a?4+b?4 Bevezetjük az a=1-d és b=1+d jelöléseket, ezeket behelyettesítve: 2-2d?2>=2d?4+12d?2+2, azaz 0>=2d?4+14d?2, innen már simán látszik, hogy d=0, ezek szerint a=b=1, tehát x=y=1 az egyetlen megoldás.
|
| Előzmény: [442] lorantfy, 2004-08-19 17:11:05 |
|
| [444] V. Dávid | 2004-08-31 18:58:40 |
|
94. Feladat: Legalább hány lottószelvényt kell kitölteni ahhoz, hogy biztosan legyen hármas találatunk?
|
|
| [443] V. Dávid | 2004-08-31 17:52:32 |
|
"Mi a helyzet akkor, ha nincsen kalapjuk meg kavicsuk, csak papíruk és ceruzájuk?" Ugyanaz a helyzet mint akkor, amikor kavicsokat dobáltak. Mondjuk 1. annyi szakaszt húz, ahány éves, aztán behajtja a lapot. 2. pedig itt folytatja a vonalhúzogatást. A lap visszahajtása után a szakaszok határa nem látható. (Feltesszük, hogy eközben más nem néz a lapra.)
|
| Előzmény: [425] Csimby, 2004-07-20 00:58:53 |
|
|
