Fórum: Érdekes matekfeladatok

Tetszetős ez a megoldás... Kérdezném, kinek mi a véleménye e megoldás alábbi határesetéről: az északi sarkponttól 1 km-re délfelé kezdi meg az útját; 1 km-t északra haladva bejut az É sarkra, kelet felé onnan nem tud (mert nem lehet) haladni, tehát nem mozdul, majd dél felé 1 km-t ballag és visszajut a kezdőpontba.

Azaz, elfogadjuk-e "1 km keletre haladásnak" azt, ha valahol nem lehet kelet felé haladni.

Másik megjegyzésem: hogyan lehetne (formálisan, esetleg rajz nélkül) bizonyítani, hogy több lehetséges útvonal nincsen? (Hiszen az első megoldás is meggyőzőnek tűnt.)

Azzal is érdekes -- és minden bizonnyal sokmegoldású -- feladatokat lehetne gyártani, ha pl. a megtett távolságok összemérhetők/meghaladják a bolygó (fél)kerületét.

Lorybetti: a feltételek csak úgy teljesülhetnek, ha a medve kezdetben pontosan a déli sarkponton áll, majd halad É fele, K fele és D fele és visszajut a déli sarkpontra.

Nem csak így lehet... Vegyünk az északi sarkpont közelében egy olyan szélességi kört, aminek kerülete osztja az 1km-t, és a kiindulópont ettől 1km-rel délre legyen. Ebben az esetben az É, K, D út triviálisan a kezdőpontba vezet, és akkor mégse pingvint találtunk :-) Vagyis az eredeti feladat is értelmes, nem kell permutálni az irányokat.

S

Kedves Onogur,

Gratulálok!

Kedves Mihály!

Nem csalás, nem ámítás,

a 2. feladatra a megoldás :o)

Rendbonto leszek, elnezest erte... Szoval a billiardgolyos feladat (amit egyebkent anno GY peldakent lekuzdottem:)) egy kulonleges matematikai kepzettseggel nem biro (erettsegi), de egyebkent feletteb intelligens rokonomat "megihlette". Azt allitja, hogy 5 meressel 12 golyobol ki tud valasztani 2 db eltero tomegut! Precizebben: van 12 kulsore egyforma golyo. 10 tomege megegyezik, kettoje elter (hogy milyen "iranyban" es mennyire, azt nem tudjuk). Egy ketkaru merleg segitsegevel valasszuk ki a ket kulonc golyot ot meressel. A megoldasrol sejtelmem sincs, de a hetvegen fogok vele foglalkozni. Aki barmilyen reszeredmenyt/otletet tud, az mailezzen legyen szives!

A tevés feladat megoldása:

Az osztószámok: k , l, m, a tevék száma: n és k < l < m < n.

A végakarat teljesítésének szükséges feltétele a kölcsönkért 1 tevével:

Mindkét oldalt elosztva (n+1) –el és –et mindkét oldalhoz hozzáadva:

Ezt az egyenletet kell megoldanunk a 0 < k < l < m < n+1 : egész számok feltétellel.

Látszik, hogy k = 2, ugyanis k = 3 esetén a lehető legkisebb l, m, n+1 értékekre is az összeg 1-nél kisebb:

Már csak három ismeretlenünk van:

emiatt l lehetséges értékei: l = 3, l = 4

Kezdjük l = 3–mal:

és 6 < m < 12 ( az összeg felének reciprokánál kisebb)

Tehát (m-6) osztója 36-nak.

m = 7, n+1 = 42, n = 41 jó megoldás,

m = 8, n+1 = 24, n = 23 jó megoldás,

m = 9, n+1 = 18, n = 17 jó megoldás,

m = 10, n+1 = 15, n = 14 NEM jó megoldás, mert nem egész szám.

l = 4 a következő eset

és 4 < m < 8 ( az összeg felének reciprokánál kisebb)

Tehát (m-4) osztója 16-nak.

m = 5, n+1 = 20, n = 19 jó megoldás,

m = 6, n+1 = 12, n = 11 jó megoldás.

Összesen 5 megoldást találtunk!

Kedves Fálesz Mihály!

Egyetértek Veled, így szeretném csökkenteni a megoldatlan példák számát.A medvés példa- Fizban 22.es hozzászólása A szöveg így szólt: "Elindul Észak felé, és megy 1 km-t. Ezután elfordul Kelet felé, és megint megtesz 1 km-t. Aztán Délnek fordul, és -ki gondolta volna- megtesz még 1 km utat. Ezután a medve visszajut a P pontba."

A feladat megoldása: a feltételek csak úgy teljesülhetnek, ha a medve kezdetben pontosan a déli sarkponton áll, majd halad É fele, K fele és D fele és visszajut a déli sarkpontra. Tartok töle, hogy Fizban rosszul írta az irányokat, mert így a medve fekete-fehér színű és Pingvin névre hallgat. Ha jegesmedvéről lenne szó-ami persze fehér: az irányok sorrendje: D, K és É vagy K, É, D vagy É, D, K (utóbbi két esetben csak érinti az északi sarkpontot)

Értékes megjegyzés: A medve olyan gömbi háromszögben mozog, melynek minden szöge derékszög. Lehet hogy Bolyait is ez ihlette meg?

Sziasztok,

Kicsit kezdenek elburjánzani a meg nem oldott feladatok. Pillanatynilag a következőkre nincs még teljes megoldás:

-- 2. feladat (9 pont), 2. hozzászólás

-- 3. feladat (emberevők) [3]

-- 5. feladat (100 láda pénz) [6]

-- milyen színű a medve [22]

-- tevék [26]

-- Rubik-hasáb [43]

-- mekkora az EDB szög [46-47]

Összesen 7, ami túl sok. Azt javaslom, hogy most egy darabig ne írjunk új feladatokat, inkább ezekere lássunk megoldást, és a továbbiakban is törekedjünk arra, hogy ne legyen egyszerre - mondjuk - háromnál több megoldatlan feladat.

F.M.

Ez a szummafelcserélés tökéletes megoldás, gratula, én is így csináltam (mellesleg azért nem így adtam fel, mert így sokkal könnyebb, csupán a 2, 3, 5, 8 kitevőket kivéve szerintem nehezebb feladatot kapunk.

Egy ábra a lenti feladathoz. (Imádom az Euklides programot!)