Fórum: Érdekes matekfeladatok

[1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232] [233] [234] [235] [236] [237] [238] [239] [240] [241] [242] [243] [244] [245] [246] [247] [248] [249] [250] [251] [252] [253] [254] [255] [256] [257] [258] [259] [260] [261] [262] [263] [264] [265] [266] [267] [268] [269] [270] [271] [272] [273] [274] [275] [276] [277] [278] [279] [280] [281] [282] [283] [284] [285] [286] [287] [288] [289] [290] [291] [292] [293] [294] [295] [296] [297] [298] [299] [300] [301] [302] [303] [304] [305] [306] [307] [308] [309] [310] [311] [312] [313] [314] [315] [316] [317] [318] [319] [320] [321] [322] [323] [324] [325] [326] [327] [328] [329] [330] [331] [332] [333] [334] [335] [336] [337] [338] [339] [340] [341] [342] [343] [344] [345] [346] [347] [348] [349] [350] [351] [352] [353] [354] [355] [356] [357] [358] [359] [360] [361] [362] [363] [364] [365] [366] [367] [368] [369] [370] [371] [372] [373] [374] [375] [376] [377] [378] [379] [380] [381] [382] [383] [384] [385] [386] [387] [388] [389] [390] [391] [392] [393] [394] [395] [396] [397] [398] [399] [400] [401] [402] [403]

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.

[622] jenei.attila

2004-11-24 20:39:06

Egy nem túl nehéz, de szerintem érdekes feladat:

Bizonyítsuk be, hogy nincs olyan g:R⁺ $\to$ R⁺ folytonos függvény, amelyre g(g(x))=1/x minden x $\in$ R⁺-ra.

[621] Edgar

2004-11-24 19:19:41

> csak minden 8. tagot hagyunk meg

Ez tetszik...

Előzmény: [618] Lóczi Lajos, 2004-11-24 18:20:46

[620] rizs

2004-11-24 19:14:02

Ha már Fibonacci a téma, akkor ezt ajánlom még egyszer :) 118.: Ha a Fibonacci sorozat elemeit egy-egy tizedeshellyel eltolva (akár balról jobbra, akár jobbról balra haladva) egymás alá írjuk és összeadjuk, akkor a sok szám összege végül ismétlődő szakaszokból fog állni, tehát olyan lesz, mint a végtelen szakaszos tizedestörtek. Sőt, nem csak olyan, hanem az is! Ha megfelelő helyre tesszük a tizedesvesszőt, akkor a két összeg éppen 1/A, illetve 1/B értékű lesz, ahol A és B prímszámok. Mennyi A és B?

[619] Maga Péter	2004-11-24 18:45:38
A hatványsoros megoldáshoz hozzátenném, hogy az összes ilyen tulajdonságú függvényt generálja. Tehát: az e^x hatványsorából érdemes indulni, ez $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$ . Ezek után pedig a minden 0 és 7 közötti egész i-re a 8k+i alakú egészekhez tartozó együtthatókat ugyanazzal a c_i konstanssal szorozni. A tagok elhagyása (amit szefoharcos írt) a c_i=0. Csak arra kell figyelni, hogy ha ügyetlenül választjuk meg ezeket a konstansokat, akkor korábbi derivált is lehet az eredeti függvény. Ez akkor teljesül, ha ugyanazt a kostans szorzót (c_i) választjuk olyan együtthatókhoz, amelyeknek különbsége 8-nál kisebb, a 8-hoz nem relatív prím. A felírt hatványsor mindig értelmes, ezt a Cauchy-Hadamaard kritériummal lehet ellenőrizni.
Előzmény: [618] Lóczi Lajos, 2004-11-24 18:20:46

[618] Lóczi Lajos

2004-11-24 18:20:46

Valóban, amely Általad említett függvény a koszinusz-analógiával is felírható persze:

legyen ismét $\alpha$ egy primitív nyolcadik egységgyök, ekkor

$\frac{1}{8}\sum_{i=0}^7 e^{\alpha^k x}$

lesz az a valós függvény, amely e^x hatványsorából úgy keletkezik, hogy csak minden 8. tagot hagyunk meg, azaz a fenti függvény 0 körüli hatványsorának eleje

$1 + \frac{x^8}{8!} + \frac{x^{16}}{16!}+...$

Egyébként ez csak valós elemi függvényekkel kifejezve egy harmadik alakban így fest:

$e^{-x} + e^x + 2\cos x + \frac{2\cos (\frac{x}{{\sqrt{2}}})}{e^{\frac{x}{{\sqrt{2}}}}} + 2e^{\frac{x}{{\sqrt{2}}}}\cos (\frac{x}{{\sqrt{2}}})$

vagy, ha a ch koszinusz-hiperbolikusz függvényt is használhatom, akár így:

$2\left( \cos x + ch x + 2\cos (\frac{x}{{\sqrt{2}}})ch (\frac{x}{{\sqrt{2}}}) \right)$

Előzmény: [617] szefoharcos, 2004-11-24 17:43:32

[617] szefoharcos

2004-11-24 17:43:32

Kedves Lajos!

Gratulaalok a megoldaasaidhoz! A Fibonacci-szaamokra ugyanezt talaaltam een is, de a fuggveenyesre volna egy megjegyzeesem, ami nem toolem szaarmazik: hatvaanysorok... Ahogy Kemeeny Legeeny is megoldotta, mieloott hangneme miatt letiltottaak volna: Az xⁿ/n! sor minden 8. tagjaat hagyjuk csak meg. Konnyuu ellenoorizni, hogy ez joo.

[616] Lóczi Lajos

2004-11-24 15:03:36

Egy kis segítség a 121. feladathoz:

némi keresgélés után rájöttem, hogy

F_2n+1=F_n+1²+F_n² illetve

F_2n=F_n+1²-F_n-1²,

ahol n pozitív természetes szám és F_n az n-edik Fibonacci szám, ha a sorozat így kezdődik: F₁=1, F₂=1, F₃=2, stb.

Ezeket már könnyű bizonyítani például a Fibonacci-számok explicit alakjából.

Előzmény: [604] szefoharcos, 2004-11-23 22:42:38

[615] Hajba Károly

2004-11-24 14:52:04

Köszi a fejtágítást. Ennek ismeretében mondhatom, Sirpi alábbi egyik hozzászólásából ki kellett volna találnom. :o)

Előzmény: [614] Lóczi Lajos, 2004-11-24 12:54:56

[614] Lóczi Lajos	2004-11-24 12:54:56
Nyilván nem, csak ez az egy ilyen hármasiker van. Hiszen ha az első tag 3-nál nagyobb prím, akkor 3-mal maradékosan osztva 1-et vagy 2-t ad. De ekkor az első esetben a sorozat 2. tagja 3-mal osztható lenne, míg a második esetben a sorozat 3. tagja volna 3-mal osztható.
Előzmény: [612] Hajba Károly, 2004-11-24 12:48:27

[613] Lóczi Lajos

2004-11-24 12:49:55

Legyen $\alpha$ egy primitív nyolcadik egységgyök, például $\alpha=\frac{1+i}{\sqrt{2}}$ .

Ekkor az $f(x):=e^{\alpha x}$ függvény nyilván megfelelő lesz a 120. feladathoz.

Ha csak valós számokra akarunk szorítkozni, akkor pedig tekintsük mondjuk a $g(x):=e^{\alpha x}+e^{\beta x}$ függvényt, ahol $\beta$ nem más, mint $\alpha$ konjugáltja. Konkrétan: $g(x)=2e^{\frac{x}{\sqrt{2}}}\dot \cos\frac{x}{\sqrt{2}}$ .

(Látható, hogy ezek bizonyos értelemben általánosítják a sin és cos függvényeket, hiszen ott primitív negyedik egységgyökökről van szó:

$\cos x =\frac{e^{i x}+e^{-i x}}{2}$ , illetve $\sin x =\frac{e^{i x}-e^{-i x}}{2 i}$ .)

Előzmény: [604] szefoharcos, 2004-11-23 22:42:38

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?