Fórum: Érdekes matekfeladatok

A g(x) injektiv,mert ha g(a)=g(b) akkor 1/a=g(g(a))=g(g(b))=1/b,azaz a=b.Az 1/x mindent felvesz (0,+végtelen)-en,igy g(g(x)) szürjektiv,azaz g(x) is szürjektiv.A g(x) folytonos,injektiv,szürjektiv tehát szigorúan monoton.Ha g(x) szig.mon.növekedne,g(g(x)) is azt tenné de 1/x szig.mon csökken.Igy g szig mon csökken és a felvett értékkészlete a teljes(0,+végtelen).Ekkor ha x 'kicsi', g(x) 'nagy',g(g(x)) 'kicsi' ,de 1/x 'nagy'.Ez ellentmondás,mert g(g(x)))=1/x.(A fentiek pontos megfogalmazása: ha x tart 0-hoz g(x)->+végtelen,igy g(g(x))->0,de 1/x->végtelen).

Egy nem túl nehéz, de szerintem érdekes feladat:

Bizonyítsuk be, hogy nincs olyan g:R⁺R⁺ folytonos függvény, amelyre g(g(x))=1/x minden xR⁺-ra.

> csak minden 8. tagot hagyunk meg

Ez tetszik...

Ha már Fibonacci a téma, akkor ezt ajánlom még egyszer :) 118.: Ha a Fibonacci sorozat elemeit egy-egy tizedeshellyel eltolva (akár balról jobbra, akár jobbról balra haladva) egymás alá írjuk és összeadjuk, akkor a sok szám összege végül ismétlődő szakaszokból fog állni, tehát olyan lesz, mint a végtelen szakaszos tizedestörtek. Sőt, nem csak olyan, hanem az is! Ha megfelelő helyre tesszük a tizedesvesszőt, akkor a két összeg éppen 1/A, illetve 1/B értékű lesz, ahol A és B prímszámok. Mennyi A és B?

A hatványsoros megoldáshoz hozzátenném, hogy az összes ilyen tulajdonságú függvényt generálja. Tehát: az e^x hatványsorából érdemes indulni, ez . Ezek után pedig a minden 0 és 7 közötti egész i-re a 8k+i alakú egészekhez tartozó együtthatókat ugyanazzal a c_i konstanssal szorozni. A tagok elhagyása (amit szefoharcos írt) a c_i=0. Csak arra kell figyelni, hogy ha ügyetlenül választjuk meg ezeket a konstansokat, akkor korábbi derivált is lehet az eredeti függvény. Ez akkor teljesül, ha ugyanazt a kostans szorzót (c_i) választjuk olyan együtthatókhoz, amelyeknek különbsége 8-nál kisebb, a 8-hoz nem relatív prím. A felírt hatványsor mindig értelmes, ezt a Cauchy-Hadamaard kritériummal lehet ellenőrizni.

Valóban, amely Általad említett függvény a koszinusz-analógiával is felírható persze:

legyen ismét egy primitív nyolcadik egységgyök, ekkor

lesz az a valós függvény, amely e^x hatványsorából úgy keletkezik, hogy csak minden 8. tagot hagyunk meg, azaz a fenti függvény 0 körüli hatványsorának eleje

Egyébként ez csak valós elemi függvényekkel kifejezve egy harmadik alakban így fest:

vagy, ha a ch koszinusz-hiperbolikusz függvényt is használhatom, akár így:

Kedves Lajos!

Gratulaalok a megoldaasaidhoz! A Fibonacci-szaamokra ugyanezt talaaltam een is, de a fuggveenyesre volna egy megjegyzeesem, ami nem toolem szaarmazik: hatvaanysorok... Ahogy Kemeeny Legeeny is megoldotta, mieloott hangneme miatt letiltottaak volna: Az xⁿ/n! sor minden 8. tagjaat hagyjuk csak meg. Konnyuu ellenoorizni, hogy ez joo.

Egy kis segítség a 121. feladathoz:

némi keresgélés után rájöttem, hogy

F_2n+1=F_n+1²+F_n² illetve

F_2n=F_n+1²-F_n-1²,

ahol n pozitív természetes szám és F_n az n-edik Fibonacci szám, ha a sorozat így kezdődik: F₁=1, F₂=1, F₃=2, stb.

Ezeket már könnyű bizonyítani például a Fibonacci-számok explicit alakjából.

Köszi a fejtágítást. Ennek ismeretében mondhatom, Sirpi alábbi egyik hozzászólásából ki kellett volna találnom. :o)

HK

Nyilván nem, csak ez az egy ilyen hármasiker van. Hiszen ha az első tag 3-nál nagyobb prím, akkor 3-mal maradékosan osztva 1-et vagy 2-t ad. De ekkor az első esetben a sorozat 2. tagja 3-mal osztható lenne, míg a második esetben a sorozat 3. tagja volna 3-mal osztható.