Fórum: Érdekes matekfeladatok

[1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232] [233] [234] [235] [236] [237] [238] [239] [240] [241] [242] [243] [244] [245] [246] [247] [248] [249] [250] [251] [252] [253] [254] [255] [256] [257] [258] [259] [260] [261] [262] [263] [264] [265] [266] [267] [268] [269] [270] [271] [272] [273] [274] [275] [276] [277] [278] [279] [280] [281] [282] [283] [284] [285] [286] [287] [288] [289] [290] [291] [292] [293] [294] [295] [296] [297] [298] [299] [300] [301] [302] [303] [304] [305] [306] [307] [308] [309] [310] [311] [312] [313] [314] [315] [316] [317] [318] [319] [320] [321] [322] [323] [324] [325] [326] [327] [328] [329] [330] [331] [332] [333] [334] [335] [336] [337] [338] [339] [340] [341] [342] [343] [344] [345] [346] [347] [348] [349] [350] [351] [352] [353] [354] [355] [356] [357] [358] [359] [360] [361] [362] [363] [364] [365] [366] [367] [368] [369] [370] [371] [372] [373] [374] [375] [376] [377] [378] [379] [380] [381] [382] [383] [384] [385] [386] [387] [388] [389] [390] [391] [392] [393] [394] [395] [396] [397] [398] [399] [400] [401] [402]

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.

[638] Csimby

2004-12-07 22:07:15

Ha valakit érdekel, a "Bizonyítások a Könyből" című könyvben (Könyvajánló [27] és [28]) például 3 bizonyítást is adnak erre :

$\zeta(2)=\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^2}=\frac{\pi^2}{6}$

Ebből:

$\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^2}=\sum_{k=1}^\infty\frac1{(2k)^2}+\sum_{k=0}^\infty\frac1{(2k+1)^2}$

$\sum_{k=1}^\infty\frac1{(2k)^2}=\frac14(1+\frac1{2^2}+\frac1{3^2}+\frac1{4^2}+...)=\frac14\zeta(2)$

Tehát:

$\sum_{k=0}^\infty\frac1{(2k+1)^2}=\frac34\zeta(2)=\frac34\cdot\frac{\pi^2}{6}=\frac{\pi^2}{8}$

Megjegyzés:

A Riemann-féle $\zeta$ (s) zéta függvényt s>1-re $\zeta(s)=\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^s}$ -ként definiáljuk.

Előzmény: [636] Lóczi Lajos, 2004-12-03 17:44:57

[636] Lóczi Lajos	2004-12-03 17:44:57
A pontos érték egyébként $\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{(2k+1)^2}=\frac{\pi^2}{8}-1\approx 0.233701$ .
Előzmény: [633] lorantfy, 2004-12-02 11:34:29

[635] Csimby	2004-12-02 20:05:02
Teljesen igazad van, csak rohantam az OKTV-re és azt hittem, hogy majd ez megtördeli magának. Tiszta béna lett az egész lap, sorry.
Előzmény: [634] lorantfy, 2004-12-02 13:47:46

[634] lorantfy

2004-12-02 13:47:46

Kedves Csimbi!

Kösz a gyors megoldást! Aki nem ismerte, tanulhat belőle!

Csak a beírás formájával van gondom.

Meg kellett volna törni a sort mert így megszélesíti a lapot és nem lehet "átlátni" a hozzászólásokat.

Elég gyér a Fórum látogatottsága a héten. Aki ráér tegyen ellene!

Előzmény: [646] Csimby, 2004-12-02 12:56:46

[646] Csimby

2004-12-02 12:56:46

$\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}+\frac{1}{7^2}+...+\frac{1}{(2n+1)^2} < \frac{1}{3^2-1}+\frac{1}{5^2-1}+\frac{1}{7^2-1}+...+\frac{1}{(2n+1)^2-1} =$

$= \frac{1}{2\cdot 4}+\frac{1}{4\cdot 6}+\frac{1}{6\cdot 8}+...+\frac{1}{2n\cdot (2n+2)} = \frac{1}{2}(\frac{4-2}{2\cdot 4}+\frac{6-4}{4\cdot6}+\frac{8-6}{6\cdot 8}+...+\frac{(2n+2)-2n}{2n\cdot (2n+2)} =$

$=\frac{1}{2}(\frac12-\frac14+\frac14-\frac16+\frac16-\frac18+...+\frac{1}{2n}-\frac{1}{2n+2}) = \frac14 - \frac{1}{4n+4} < \frac14$

Előzmény: [633] lorantfy, 2004-12-02 11:34:29

[633] lorantfy

2004-12-02 11:34:29

Lóczi Lajos [631]-beli feladata a 122.,[632]-beli pedig a 123.

124. feladat: Bizonyítsuk be, hogy minden n természetes számra:

$\frac {1}{3^2}+\frac {1}{5^2}+ ... +\frac {1}{(2n+1)^2}<\frac{1}{4}$

[632] SchZol

2004-11-26 12:17:38

Kedves László!

A Bolzano-Weierstrass tétel valóban az, amit Géza írt, viszont tényleg van egy olyan Bolzano tétel is, ami azt mondja ki, hogy:

Ha f folytonos [a, b]-ben és f(a)<c<f(b), akkor létezik $\xi$ $\in$ (a,b): f( $\xi$ )=c

Üdv, Zoli

Előzmény: [629] lorantfy, 2004-11-25 22:22:24

[631] Lóczi Lajos	2004-11-26 01:04:46
Keressük meg azokat a pozitív x,y,z számokat, melyekre teljesül az x^y=z, y^z=x és z^x=y egyenletrendszer.

[630] Lóczi Lajos

2004-11-26 00:52:44

Ennek mintájára:

Adjunk példát olyan, az egész számegyenesen értelmezett f valós függvényre, amelyre f(f(x))=-x.

Vizsgáljuk meg az analóg problémát hármas vagy magasabb kompozícióra. Még régebben keresgéltem ilyen függvényeket, ebből nálam szép, forgásszimmetrikusnak kinéző ábrák születtek...

Előzmény: [622] jenei.attila, 2004-11-24 20:39:06

[629] lorantfy

2004-11-25 22:22:24

Kedves Géza!

Igazad van! A Bolzano-Weierstrass a számsorozatoknál, az említett tétel. Ennek ellenére több helyen is olvastam már, hogy zárt intervallumon folytonos fgv... témában Bolzano-Weierstass tételre hivatkoztak - eszerint helytelenül.

Előzmény: [628] Kós Géza, 2004-11-25 14:18:45

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?