Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: Érdekes matekfeladatok

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]    [161]    [162]    [163]    [164]    [165]    [166]    [167]    [168]    [169]    [170]    [171]    [172]    [173]    [174]    [175]    [176]    [177]    [178]    [179]    [180]    [181]    [182]    [183]    [184]    [185]    [186]    [187]    [188]    [189]    [190]    [191]    [192]    [193]    [194]    [195]    [196]    [197]    [198]    [199]    [200]    [201]    [202]    [203]    [204]    [205]    [206]    [207]    [208]    [209]    [210]    [211]    [212]    [213]    [214]    [215]    [216]    [217]    [218]    [219]    [220]    [221]    [222]    [223]    [224]    [225]    [226]    [227]    [228]    [229]    [230]    [231]    [232]    [233]    [234]    [235]    [236]    [237]    [238]    [239]    [240]    [241]    [242]    [243]    [244]    [245]    [246]    [247]    [248]    [249]    [250]    [251]    [252]    [253]    [254]    [255]    [256]    [257]    [258]    [259]    [260]    [261]    [262]    [263]    [264]    [265]    [266]    [267]    [268]    [269]    [270]    [271]    [272]    [273]    [274]    [275]    [276]    [277]    [278]    [279]    [280]    [281]    [282]    [283]    [284]    [285]    [286]    [287]    [288]    [289]    [290]    [291]    [292]    [293]    [294]    [295]    [296]    [297]    [298]    [299]    [300]    [301]    [302]    [303]    [304]    [305]    [306]    [307]    [308]    [309]    [310]    [311]    [312]    [313]    [314]    [315]    [316]    [317]    [318]    [319]    [320]    [321]    [322]    [323]    [324]    [325]    [326]    [327]    [328]    [329]    [330]    [331]    [332]    [333]    [334]    [335]    [336]    [337]    [338]    [339]    [340]    [341]    [342]    [343]    [344]    [345]    [346]    [347]    [348]    [349]    [350]    [351]    [352]    [353]    [354]    [355]    [356]    [357]    [358]    [359]    [360]    [361]    [362]    [363]    [364]    [365]    [366]    [367]    [368]    [369]    [370]    [371]    [372]    [373]    [374]    [375]    [376]    [377]    [378]    [379]    [380]    [381]    [382]    [383]    [384]    [385]    [386]    [387]    [388]    [389]    [390]    [391]    [392]    [393]    [394]    [395]    [396]    [397]    [398]    [399]    [400]    [401]    [402]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[66] Csillag2003-11-13 20:15:54

Szia Attila!

A 18 szöges megoldás végigolvasásához nem volt türelmem, de remélem a köv. megoldás független tőle: (AB és DE metszéspontja P)

ABD\angle=50\impliesADB\angle=50

AB=AD=AF\impliesADF\angle=80\impliesGDF\angle=100,DFG\angle=40\impliesDG=DF

DFEG paralelogramma szimmetriatengelye DE, így EPB\angle=30 és EDB\angle=80 GB

Előzmény: [64] jenei.attila, 2003-11-13 17:28:42
[65] Lóczi Lajos2003-11-13 18:57:33

Álljon itt a háromszöges feladat egy általánosítása: az alapon fekvő szögek a 80o helyett legyenek \alpha, a 60o-os BAE szög helyett legyen \beta, a 70o-os ABD szög pedig legyen most \gamma; ezekről tehát azt tesszük fel csak, hogy 0<\alpha<90o, 0<\beta<\alpha, 0<\gamma<\alpha. Jelölje továbbá a keresett BDE szöget \varphi. A rövidség kedvéért egy x szög tangensét jelölje \taux.

Ekkor elemi koordinátageometriai érvelés mutatja, hogy


\cos\varphi=\frac{1-m\cdot \tau_\gamma}{\sqrt{(m^2+1)(\tau^2_\gamma+1)}},

ahol m=\frac{\tau^2_\alpha\cdot(\tau_\beta-\tau_\gamma)}{\tau^2_\alpha-\tau_\beta\cdot\tau_\gamma}.

Az \alpha=80o, \beta=60o, \gamma=70o értékeket behelyettesítve, "némi" algebrai egyszerűsítés után például az alábbi alakot kapjuk (ki-ki maga is megpróbálkozhat eljutni idáig):


\cos\varphi=\frac{1-\cos 80^\circ}{\sqrt{3-2\sqrt{3} \cos 50^\circ}}.

13. feladat. Bizonyítsuk be, hogy a fenti kifejezés jobb oldala cos 20o.

Előzmény: [63] Kós Géza, 2003-11-13 14:25:51
[64] jenei.attila2003-11-13 17:28:42

Ötletes a hivatkozott KÖMAL-ban közölt 18 szöges megoldás, bár abban a feladatban az ABD szög 50 fok. Valószínűleg a módszer alkalmazható akkor is, mikor ABD szög=70 fok. Kiváncsi lennék a 18 szöges megoldástól független megoldásra ABD=50 fok esetén.

Előzmény: [63] Kós Géza, 2003-11-13 14:25:51
[63] Kós Géza2003-11-13 14:25:51

Aki szeretne kicsit mélyebben a feladat mögé nézni, annak ajánlom Csirmaz László Egy geometriai feladatról című cikkét. (KöMaL 1985/4, 147-149. oldal)

Előzmény: [62] lorantfy, 2003-11-13 13:51:17
[62] lorantfy2003-11-13 13:51:17

Kedves Csillag és Attila!

Szép a megoldás! Egy ábrát megérdemel.

[61] jenei.attila2003-11-13 10:34:03

Szia Csillag!

Szép megoldás, gratulálok. Egy két apróbb megjegyzést tennék. Amikor felírtad, hogy GD=GF=GE, innen már azonnal következik, hogy GDE szög = GED szög = 50 fok, de ADB szög = 30 fok, amiből EDB szög = 20 fok. Csak egy kis egyszerűsítés. Az én megoldásom is hasonló, megtartva a Te jelöléseidet, a következő: DC/GD=CB/CE=AB/GE. A GE félegyenesen vegyük fel H pontot úgy, hogy GH=GC legyen. Ekkor EH=GH-GE=GB-GF=FB=AB. Vagyis DC/GD=AB/GE=EH/GE miatt CH párhuzamos DE-vel. De GCH szög=GHC szög= 50 fok (mivel GC=GH) =GDE szög. EDB szög=GDE szög -ADB szög= 50-30=20 fok. A TeX-hel még nem tudok rendesen bánni, legközelebb azért megpróbálom.

Előzmény: [57] Csillag, 2003-11-12 22:20:02
[60] Hajba Károly2003-11-13 00:31:47

Ha (46) Jenei Attila geometriai feladata a 10. és (52) Bubu kérdése a 11. akkor

12. feladat: Kössük össze 12 darab, folytonos, a kiinduló pontba visszazáródó és a külső pontsoron túl nem nyúló egyenes szakasszal (azaz egy 12 szakaszból álló hurokkal) az alábbi 49 pontot.

HK

[59] Hajba Károly2003-11-13 00:09:23

Kedves László!

Úgy tűnik nekem, hogy csak ketten vagyunk jelen abból a generációból, kiket elbűvölt a bűvös kocka, habár jelenleg is kapható. Ezért is ill., hogy Mihály kérésére csökkenjen a megoldatlan feladatok száma, válaszolok a bűvös kockás feladatra.

Megoldás a 9. feladatra:

Az eredeti kockán található oldaléleknek két állásuk lehetséges, alaphelyzet ill. (180°-os) elforgatottság. Nevezzük 0 ill. 1/2 spinnek. Egy rendesen összeállított kocka spinjei mindig egész számot adnak ki, tehát első ránézésre a bűvös hasáb rendellenesen lett összeállítva, ami persze nem igaz, mivel alaphelyzetből és 0 spinnel lett összekeverve.

Ha jobban megnézzük az ábrát, látható, hogy a hasáb forma miatt 4 oldalél "le lett vágva", így azoknak csak egy színűk van, de ha 180°-kal elforgatom, önmagába tér vissza. Így e 4 elemnél a 0 és 1/2 spin teljesen egyformának tűnik. Ha az összekeverés előtt egy aszimetrikus jellel meg lettek volna jelölve, akkor 1 vagy 3 elem 1/2 spin elfordulást mutatna.

Hajba Károly

Előzmény: [43] lorantfy, 2003-11-08 15:50:59
[58] lorantfy2003-11-12 22:31:25

Kedves Lajos!

Nekem az 1 km helybenjárás kelet felé az nem tetszik, de miközben gondolatban ráhúztál a határesetre megálltál-e n-szer az 1/n sugarú köröknél és beidomítottad-e a medvét, hogy menjen körve n-szer kelet felé? Mert ha igen tiéd a Nagy Polarbear emlékérem. Persze mindig kicsit közelebbről kell elindítani a medvét. ( A felülnézeti ábrán a távolságok nem arányosak!)

Sirpinek gratula a jó ötletért!

[57] Csillag2003-11-12 22:20:02

Üdv Mindenkinek!

Sajnos ábrát nem tudok rajzolni, de egy megoldást elmondok a geometria példához: E tükörképe a C-nél levő szögfelezőre G. A C-nél levő szögfelező és az AE metszéspontja F. GD=GF, mert

\frac{GD}{DC} =\frac{BG}{BC} =\frac{CG}{CB} =\frac{GF}{FB}

(szögfelezőtétel többszöri felhasználása, GCB\angle=GBC\angle=20o)

Tehát GD=GF=GE=FE(mert GEF szabályos háromszög). BGA\angle=40,FGD\angle=140,GDF\angle=20,DF||CB,FDB\angle=DBC\angle=10,DGE\angle=80,GDE\angle=50,BDE\angle=GDE\angle-GDF\angle-FDB\angle=20.

Vagyis a keresett szög 20 fokos.

GB

Előzmény: [46] jenei.attila, 2003-11-10 10:44:46

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]    [161]    [162]    [163]    [164]    [165]    [166]    [167]    [168]    [169]    [170]    [171]    [172]    [173]    [174]    [175]    [176]    [177]    [178]    [179]    [180]    [181]    [182]    [183]    [184]    [185]    [186]    [187]    [188]    [189]    [190]    [191]    [192]    [193]    [194]    [195]    [196]    [197]    [198]    [199]    [200]    [201]    [202]    [203]    [204]    [205]    [206]    [207]    [208]    [209]    [210]    [211]    [212]    [213]    [214]    [215]    [216]    [217]    [218]    [219]    [220]    [221]    [222]    [223]    [224]    [225]    [226]    [227]    [228]    [229]    [230]    [231]    [232]    [233]    [234]    [235]    [236]    [237]    [238]    [239]    [240]    [241]    [242]    [243]    [244]    [245]    [246]    [247]    [248]    [249]    [250]    [251]    [252]    [253]    [254]    [255]    [256]    [257]    [258]    [259]    [260]    [261]    [262]    [263]    [264]    [265]    [266]    [267]    [268]    [269]    [270]    [271]    [272]    [273]    [274]    [275]    [276]    [277]    [278]    [279]    [280]    [281]    [282]    [283]    [284]    [285]    [286]    [287]    [288]    [289]    [290]    [291]    [292]    [293]    [294]    [295]    [296]    [297]    [298]    [299]    [300]    [301]    [302]    [303]    [304]    [305]    [306]    [307]    [308]    [309]    [310]    [311]    [312]    [313]    [314]    [315]    [316]    [317]    [318]    [319]    [320]    [321]    [322]    [323]    [324]    [325]    [326]    [327]    [328]    [329]    [330]    [331]    [332]    [333]    [334]    [335]    [336]    [337]    [338]    [339]    [340]    [341]    [342]    [343]    [344]    [345]    [346]    [347]    [348]    [349]    [350]    [351]    [352]    [353]    [354]    [355]    [356]    [357]    [358]    [359]    [360]    [361]    [362]    [363]    [364]    [365]    [366]    [367]    [368]    [369]    [370]    [371]    [372]    [373]    [374]    [375]    [376]    [377]    [378]    [379]    [380]    [381]    [382]    [383]    [384]    [385]    [386]    [387]    [388]    [389]    [390]    [391]    [392]    [393]    [394]    [395]    [396]    [397]    [398]    [399]    [400]    [401]    [402]