Fórum: Érdekes matekfeladatok

133. feladat megoldása: Vegyen ki még egy gyógyszert az első dobozból. Így mindkét dobozból 2-2 gyógyszer lesz. Majd törje ketté őket és vegye be mindegyiknek a felét! A megmaradó feleket tegye félre másnap estére. (Feltéve persze, hogy nem olyan kapszulás gyógyszerről van szó amit nem szabad kettétörni.)

132. feladat 76=24, tegyük igazzá a számjegyek elmozgatásával.

133. feladat Egy ember minden este két féle gyógyszerból vesz be 1-et 1-et, amelyek pontosan ugyanúgy néznek ki. Egyik este amikor 1-et már kitöltött az egyikből, véletlenül meglódul a másik doboz és a másikból 2-t tölt ki. Most 3 pontosan ugyanolyan gyógyszer van a kezében. Mit tegyen?

Akkor gyorsan, amíg aktuális:

2002x+2004y+1=xy

x(2002-y)+2004y+1=0

x(2002-y)+1+2002*2004=2002*2004-2004y

x(2002-y)-2004(2002-y)=-2002*2004-1

(2002-y)(2004-x)=2002*2004+1

(2002-y)(2004-x)=2003²

2003 prím, tehát a megoldások:

y=2001, x=2004-2003²

y=2002-2003², x=2003

y=-1, x=1

y=2003, x=2004+2003²

y=2002+2003², x=2005

y=4005, x=4007

131. feladat: Oldjátok meg az egész számok halmazán:

2002x+2004y+1=xy

Még egy napig "aktuális".

Köszönöm szépen az időt, amit a feladatomra forditottatok, és a megoldást. Sajnos csak a pozitív egész számokra kell az egyenletet megoldani, úgyhogy úgy néz ki ott nincs megoldás. Köszönöm szépen.

Kedves PolarFox,

Biztos, hogy pozitív egész megoldásokat keresünk? A feladat érdekesebb, ha az egész (vagy racionális) megoldásokra vagyunk kíváncsiak vagy az xyz együtthatóját egy másik -- nagyobb -- páros számnak választjuk. (Akkor nem működik közvetlenül a számtani-mértani közepek közötti egyenlőtlenség.)

A feladatnak egy közeli rokona szerepelt az 1983-as Kürschák-versenyen:

Bizonyítsuk be, hogy ha az x,y,z racionális számokra x³+3y³+9z³-9xyz=0 teljesül, akkor x=y=z=0.

Érdemes elolvasni a megoldást itt.

Hello PolarFox!

Alkalmazzuk a számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenséget, mivel pozitív tagokról van szó ezt megtehetjük. A tagok amire alkalmazzuk x³, 2y³, 4z³.

átrendezve:

x³+2y³+4z³-6xyz0 egyenlőség akkor lép fel, ha a tagok amire alkalmaztuk a közepeket egyenlőek, vagyis x³=2y³=4z³ Ehhez pedig az kell, hogy a tagokban a 2-es azonos kitevőn legyen, vagyis, ha x-ben a-val, y-ben b vel, z-ben c-vel jelöljük a kettőnek a kitevőjét, akkor az alábbi egyenletnek igaznak kell lenni: 3a=3b+1=3c+2 ahol a,b,c egészek. Ez viszont nem lehet soha egyenlő, mert 3-mal osztva különbőző maradékot adnak. Ebből viszont az következik, hogy az egyetlen megoldás a triviális megoldás, ha a x,y,z is 0.

Remélem jó és érthető!

Üdv, Zoli

Sziasztok. Nagy problémám van, már rég óta agyalok egy egyenleten de nem sikerül szorzattá alakítanom, légyszi segítsetek. A feladat: (nem tudok felső indexet írni) x*x*x+2*y*y*y+4*z*z*z-6xyz=0 tehát x3+2y3+4z3-6xyz=0 oldd meg az egyenletet, ha x;y;z eleme a pozitív egész számoknak.

Székely J. Gábor Paradoxonok a véletlen matematikájában c könyvében azt olvastam, hogy 100 lottószelvényt kell kitöltenünk ahhoz, hogy biztos legyen kettes találatunk az ötöslottón (ennyi minimum kell és ennyi elég is), viszont nem tudjuk megmondani, hogy hány szelvény kell minimum a biztos hármas illetve négyes találat eléréséhez.

Tudna valaki ennek a problémának a mélységéről, kutatási irányáról részletesebben írni? Nagyon érdekesnek találom a problémát, mert egyszerű a kérdés, bárkinek eszébe juthat és mégsem tudjuk megválaszolni...sőt ezek szerint a meggondolások messzebbre is vezetnek, mint ahogy elsőre tűnik.

Szoval a Pascal-haromszogben a paratlan szamok egy Sierpinski-haromszog nevu fraktalon helyezkednek el, es erdekes modon ezt a Sierpinski-haromszoget egy vonallal le lehet rajzolni: