Fórum: Érdekes matekfeladatok

Úgy látom mindenkit félreértek!Bocs! Levit úgy értettem meg,hogy végigböngészetem 16szor amit írt meg az enyémet is itthon,és nekem is kijött úgy ahogy Levinek,úgyhogy egyetértek vele! Na de akkor legyen X az a darabszám amit egy kxk-s táblán lerakva még egyet le tudunk rakni (6x6-osnál X=14) Tehát amit sejtek: és szerintem legyen k>2

"ugye bizonyítottuk hogy 6x6os táblán 14et elhelyezve még egyet le tudunk rakni,tehát 15öt"

Nem!

Azt bizonyítottuk, hogy ha 11 dominót már leraktunk, akkor biztosan el tudunk helyezni még egyet, vagyis 12-t összesen...

Úgy konkrétan miből értetted meg Levit, ebből: "ha ott is megvizsgálnánk a további sorokat, kijönne az, hogy nem lehet üres mezőt elhelyezni... "? ;-) Egyébként meg szerintem az én bizonyításom (és ezek szerint ilyen a tiéd is) egyáltalán nem hosszú, dehát ízlések és pofonok...

Tényleg nem teljesen világos, de Levinél N nem az elhelyezett dominók száma, hanem az üresen maradt mezők száma úgy, hogy biztosan el tudjunk helyezni még egy dominót (láthatod ezt abból is, hogy k=6-nál N=14, ami a te feladatod). Így stimmel a k=2 és k=4 esetre adott N=2 és N=6.

Hopp egy ötlet: azt kell megnézni hogy mennyi helyünk marad a táblán, ha lerakjuk azt az utolsó dominót is, ugye bizonyítottuk hogy 6x6os táblán 14et elhelyezve még egyet le tudunk rakni,tehát 15öt,ez 15x2=30 négyzetet foglal a 36-ból,azaz 6 négyzet üresen marad. 2x2es táblát kizárom,nem érdemes vele foglalkozni! 3x3as táblán N=2-nél még egyet le tudok rakni,azaz 6 négyzetet fedek,3 maradt üresen! 4x4es táblán N=5-nél még egyet lerakva 12 négyzetet fedek,4 maradt üresen!Még nem láttam be,de a sejtés hogy kxk-s táblán k marad üresen,és így:

Most már értem levit!:) Az én megoldásom szinte ua mint a Csimbié,úgyhogy nem írom be,mert hosszú! Viszont levi azt írja hogy 2x2-es táblán 2-őt elhelyezek és még biztosan el tudok helyezni egyet,lehet hogy én nem értem megint,de ha 2őt elhelyezek,akkor már nincs több hely,mert lefedi az egészet! Ha k=4 akkor szerintem N=5,nem pedig 6.talán

Jonasnak igaza van, a többi sorban nem feltétlenül működik, azonban ha ott is megvizsgálnánk a további sorokat, kijönne az, hogy nem lehet üres mezőt elhelyezni... a közérthetetlenségemért meg elnézést kérek, egyszerűen csak nem tudok fogalmazni... Viszont felmerült bennem egy kérdés: Adott egy k pozitív páros szám. Egy k*k-ás táblázatban elhelyezünk néhány dominót. Melyik az a legkisebb N szám, amelyre igaz, hogy még mindenféleképpen el lehet helyezni még egy dominót, anélkül, hogy a már letett dominókat elmozdítanánk?

k=2-nél szerintem ez 2, k=4-nél talán 6, k=6-nál akkor 14.

A számozásra végül nem lett szükség csak az elején ezt még nem tudtam...

Szerintem bontsuk fel 4 db. 3×3-as négyzetté a 6×6-os négyzetet. Ugye 14 üres mező marad összesen, vagyis lesz olyan 3×3-as négyzet amelyben legfeljebb 5 mezőt fed le dominó (ha mindegyikben legalább 6 mezőt fedne le dominó, akkor 4×6=24, 24+14=38 > 36, ami ellentmondás).

A szimetria miatt mindegy, hogy melyik 3×3-as négyzetben bizonyítjuk, hogy ha csak 5 mezőt fedünk le belőle dominókkal, akkor még egy dominót el tudunk helyezni, tehát legyen ez a jobb alsó 3×3-as négyzet.

Ahhoz, hogy a piros négyzetben ne maradjon hely domionónak, ahhoz mindenképpen el kell helyeznünk 2 teljes dominót a 3×3-as négyzetben. Vagyis biztosan lefedünk 2 szürke és 2 fehér mezőt. Az 5. mező lefedése után tehát vagy 3 szürke és 1 fehér, vagy pedig 2 fehér és 2 szürke mezőnk marad.

Mindegyik fehér mezőnek 3 szürke szomszédja van, tehát bármely fehér mezőhöz csak 2 olyan szürke mező létezik, amely nem mellette található, így ha 3 szürke és 1 fehér mező marad üresen, akkor biztosan lesz hely még egy dominónak.

2 fehér mezőnek vagy 4 vagy 5 szürke szomszédja van, tehát akárhogy is marad üresen 2 szürke és 2 fehér mező, biztosan lesz 2 egymás melletti és így biztosan lesz hely még egy dominónak.

Őszintén szólva,én is az "elegánsabb" megoldás reményében írtam be a feladatom,mert az én bizonyításom is legalább ilyen hosszú.Ettől függetlenül én is csak az elejét értem a bizonyításodnak...(mondjuk Einsteint sem értették:) Talán vmi ábrával szemléltetve felfognánk mit mondasz!?

Ezt a bizonyítást nem egészen értem. Az világos, hogy ha a legfelső sorban három lyuk van, akkor nem lehet a következőben egynél több. Viszont úgy tűnik, hogy a bizonyîtásban ezt nem csak az első sorra, hanem a többire is kihasználod, ezekre pedig már nem tudon, miért lenne igaz.