Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: Érdekes matekfeladatok

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]    [161]    [162]    [163]    [164]    [165]    [166]    [167]    [168]    [169]    [170]    [171]    [172]    [173]    [174]    [175]    [176]    [177]    [178]    [179]    [180]    [181]    [182]    [183]    [184]    [185]    [186]    [187]    [188]    [189]    [190]    [191]    [192]    [193]    [194]    [195]    [196]    [197]    [198]    [199]    [200]    [201]    [202]    [203]    [204]    [205]    [206]    [207]    [208]    [209]    [210]    [211]    [212]    [213]    [214]    [215]    [216]    [217]    [218]    [219]    [220]    [221]    [222]    [223]    [224]    [225]    [226]    [227]    [228]    [229]    [230]    [231]    [232]    [233]    [234]    [235]    [236]    [237]    [238]    [239]    [240]    [241]    [242]    [243]    [244]    [245]    [246]    [247]    [248]    [249]    [250]    [251]    [252]    [253]    [254]    [255]    [256]    [257]    [258]    [259]    [260]    [261]    [262]    [263]    [264]    [265]    [266]    [267]    [268]    [269]    [270]    [271]    [272]    [273]    [274]    [275]    [276]    [277]    [278]    [279]    [280]    [281]    [282]    [283]    [284]    [285]    [286]    [287]    [288]    [289]    [290]    [291]    [292]    [293]    [294]    [295]    [296]    [297]    [298]    [299]    [300]    [301]    [302]    [303]    [304]    [305]    [306]    [307]    [308]    [309]    [310]    [311]    [312]    [313]    [314]    [315]    [316]    [317]    [318]    [319]    [320]    [321]    [322]    [323]    [324]    [325]    [326]    [327]    [328]    [329]    [330]    [331]    [332]    [333]    [334]    [335]    [336]    [337]    [338]    [339]    [340]    [341]    [342]    [343]    [344]    [345]    [346]    [347]    [348]    [349]    [350]    [351]    [352]    [353]    [354]    [355]    [356]    [357]    [358]    [359]    [360]    [361]    [362]    [363]    [364]    [365]    [366]    [367]    [368]    [369]    [370]    [371]    [372]    [373]    [374]    [375]    [376]    [377]    [378]    [379]    [380]    [381]    [382]    [383]    [384]    [385]    [386]    [387]    [388]    [389]    [390]    [391]    [392]    [393]    [394]    [395]    [396]    [397]    [398]    [399]    [400]    [401]    [402]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[890] Lóczi Lajos2005-04-28 16:57:00

Egyetértek.

(Viszont furcsa, hogy a [888]-as hozzászólás eltűnt. Vajon ki akart benne mit mondani?)

Előzmény: [888] levi, 2005-04-28 16:00:55
[889] levi2005-04-28 16:54:59

Vizsgáljuk csak az első síknegyedet (azon belül is a 0,1 zárt intervallumot)! Húzzuk be az x+y=1 egyenest és rajzoljuk be a kör részét. Arra gondoltam, hogy tükrüzzük a körívet. Ehhez szintén húzzuk be az x-y=0 egyenest. Az első egyenessel és a körrel vett metszéspontjának koordinátáit kiszámíthatjuk: ezek M(1/2,1/2) ill. N(1/\sqrt2,1/\sqrt2). Az MN távolság pedig \frac{\sqrt2 -1}{\sqrt2}. Keressük meg az x-y=0 egyenesen a másik ilyen távolságban lévő pontot M-től, ez az P(\frac{2-\sqrt2}2,\frac{2-\sqrt2}2). Ez a pont rajta lesz a keresett köríven. Erre az ívre érvényes az x^\alpha +y^\alpha =1 egyenlet. Mivel x=y és behelyettesítve ezt az egyenletet kapjuk: 2(\frac{2-\sqrt2}2)^\alpha =1. Ebből azt kapjuk hogy \alpha=0.564476383. Ez talán egy keresett \alpha érték.

[888] levi2005-04-28 16:00:55

http://www.sulinet.hu/termeszetvilaga/archiv/2000/0001/05.html

a cikk részben érinti a kérdést (4. ábra és a mellette lévő kis bekezdés), ebből úgy gondolom ha \alpha>2 akkor a kerület (ha az \alpha megfelelően nagy) közelít a 8-hoz (egy 2*2 négyzet). Ha 1\le\alpha<2, akkor a kerület a 4\sqrt2-höz közelít.

[886] Csimby2005-04-26 23:06:10

Tudom, rájöttem hamar miután beírtam :-(

A keresett ponthalmaz parametrikus egyenlete: x=cos^{2/\alpha}t, y=sin^{2/\alpha}t

Az ívhossz: \int{\sqrt{x'^2+y'^2}} Most nem írom tovább, de \alpha=2/3-ra tényleg kijön a 6.

Előzmény: [880] Lóczi Lajos, 2005-04-22 11:23:44
[885] Lóczi Lajos2005-04-26 22:23:28

Sajnos nem. Az asztroid kerülete csak 6, ami nem 2\pi (ez benne is van a cikkben, amiből az ábrák valók).

Előzmény: [884] Csimby, 2005-04-26 22:06:56
[884] Csimby2005-04-26 22:06:56

A kis kör sugara a nagy kör sugarának a negyede, az animációból látszik, hogy az asztroid és a nagy kör kerülete megegyezik. (egy negyed körív = egy negyed asztroid ív = a kis kör teljes kerülete)

Előzmény: [883] Csimby, 2005-04-26 22:02:49
[883] Csimby2005-04-26 22:02:49

Szemléletesen az asztroid jónak tűnik.

( a kép innen van: http://mathworld.wolfram.com/Astroid.html)

Előzmény: [880] Lóczi Lajos, 2005-04-22 11:23:44
[882] nadorp2005-04-25 12:29:33

Szia Csimby !

A \sum_{i=2}^{n+1}\frac1i\leq\int_1^{n+1}\frac1xdx=ln(n+1) egyenlőtlenség módszerére gondoltam. Ugyanis:

\frac{ln1 +ln2 + ... lnn}n\geq\frac1n\int_1^nlnxdx=\frac1n(nlnn-n+1)\geq{lnn-1},azaz \root{n}\of{n!}\geq\frac{n}e.

A fent kapott egyenlőtlenség már jó alap a feladatban a nemkorlátosság bizonyításához.

Előzmény: [881] Csimby, 2005-04-22 21:54:35
[881] Csimby2005-04-22 21:54:35

Kedves Nadorp! Ha még emlékszel rá, elmondod mire gondoltál?

Előzmény: [812] nadorp, 2005-03-01 12:15:48
[880] Lóczi Lajos2005-04-22 11:23:44

Valamely \alpha>0-ra tekintsük a sík azon (x,y) pontjait, amelyekre teljesül, hogy


|x|^\alpha+|y|^\alpha=1.

(Az \alpha=2 esetben nyilván egységkört kapunk, \alpha=\frac{2}{3}-ra asztroidot, stb.) Az \alpha=2 esetben a kapott alakzat kerülete 2\pi. Vajon lesz-e ezen kívül olyan \alpha, amelyhez tartozó alakzat kerülete szintén 2\pi? Ha igen, melyik/melyek ezek az \alpha\ne2 értékek?

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]    [161]    [162]    [163]    [164]    [165]    [166]    [167]    [168]    [169]    [170]    [171]    [172]    [173]    [174]    [175]    [176]    [177]    [178]    [179]    [180]    [181]    [182]    [183]    [184]    [185]    [186]    [187]    [188]    [189]    [190]    [191]    [192]    [193]    [194]    [195]    [196]    [197]    [198]    [199]    [200]    [201]    [202]    [203]    [204]    [205]    [206]    [207]    [208]    [209]    [210]    [211]    [212]    [213]    [214]    [215]    [216]    [217]    [218]    [219]    [220]    [221]    [222]    [223]    [224]    [225]    [226]    [227]    [228]    [229]    [230]    [231]    [232]    [233]    [234]    [235]    [236]    [237]    [238]    [239]    [240]    [241]    [242]    [243]    [244]    [245]    [246]    [247]    [248]    [249]    [250]    [251]    [252]    [253]    [254]    [255]    [256]    [257]    [258]    [259]    [260]    [261]    [262]    [263]    [264]    [265]    [266]    [267]    [268]    [269]    [270]    [271]    [272]    [273]    [274]    [275]    [276]    [277]    [278]    [279]    [280]    [281]    [282]    [283]    [284]    [285]    [286]    [287]    [288]    [289]    [290]    [291]    [292]    [293]    [294]    [295]    [296]    [297]    [298]    [299]    [300]    [301]    [302]    [303]    [304]    [305]    [306]    [307]    [308]    [309]    [310]    [311]    [312]    [313]    [314]    [315]    [316]    [317]    [318]    [319]    [320]    [321]    [322]    [323]    [324]    [325]    [326]    [327]    [328]    [329]    [330]    [331]    [332]    [333]    [334]    [335]    [336]    [337]    [338]    [339]    [340]    [341]    [342]    [343]    [344]    [345]    [346]    [347]    [348]    [349]    [350]    [351]    [352]    [353]    [354]    [355]    [356]    [357]    [358]    [359]    [360]    [361]    [362]    [363]    [364]    [365]    [366]    [367]    [368]    [369]    [370]    [371]    [372]    [373]    [374]    [375]    [376]    [377]    [378]    [379]    [380]    [381]    [382]    [383]    [384]    [385]    [386]    [387]    [388]    [389]    [390]    [391]    [392]    [393]    [394]    [395]    [396]    [397]    [398]    [399]    [400]    [401]    [402]