Fórum: Érdekes matekfeladatok

Megoldást írok a 18. feladatra:

1. lépés: Átmegy két kannibál, egyikük a túlparton marad, másikuk visszahozza a csónakot.

2. lépés: Ugyanez még egyszer.

3. lépés: Átmegy két fehérember, egyikük ott marad, másikuk viszont egy kannibál társaságában visszatér.

4. lépés: Átkel a még hátralévő két fehérember, a túlparti kannibál visszaviszi a csónakot.

5-6. lépés: Most már csak az van hátra, hogy a kannibálok is átkeljenek. Először átkelnek ketten, majd egyikük visszmegy a harmadikért.

Könnyen végiggondolhatjuk, hogy a kannibálok az átkelés során sosem kerültek többségbe. Ez azt jelenti, hogy mindannyiukat sikerült – épségben – átjuttatnunk a túlpartra.

Trükkös a megoldásod, BrickTop. Egyébként nem szükséges, hogy a két ponton átmenő egyenes is adott legyen. Leírok egy megoldást, ami csak a két pont (és természetesen a körző megfelelő használatának) ismeretét feltételezi

A 20. feladat II. megoldása következik: Könnyen bizonyítható, hogy körző segítségével (vonalzó nélkül) tudunk invertálni egy pontot egy olyan körre, aminek a középpontját is ismerjük. (Ezt először külső pontra érdemes belátni.) Aki nem ismeri, gondolkozzon el rajta.

A két pont, amihez négyzetet akarunk rajzolni, legyen A és B!(A keresett négyzet ABCD.) AB-hez háromszögrácsot rajzolva megkapjuk A tükörképét B-re: E-t. Most E-t invertáljuk az A középpontú, AB sugarú körre, a képe az AB szakasz felezőpontja, O lesz. Az O középpontú, sugarú kör legyen k. C-t megkaphatjuk a B középpontú, AB sugarú kör, és a B-ben AB egyenesére állított merőleges egyenes (egyik) metszéspontjként. Ha ezt a két alakzatot invertáljuk k-ra, akkor az egyenesből is kör lesz, és így már meg tudjuk szerkeszteni metszéspontjukat. A körünk képe az AE’ átmérőjű kör, ahol E’ az E pont képe, ugyanis O illeszkedik AE-re. (Ezt a kört meg tudjuk rajzolni, hiszen felezőpontját megszerkeszthetjük ugyanúgy, ahogy AB felezőpontját megszerkesztettük. Az egyenesünk képe a BO átmérőjű kör.

A két kapott kör metszéspontjai közül az egyik C’, vagyis C képe. Ha C’-t invertáljuk k-ra, akkor megkapjuk a keresett C pontot. Természetesen D ugyanígy kapható meg.

A 20. feladat speciális esete a Mohr-Mascheroni-tételnek, ami a következő állítást bizonyítja: „Minden körzővel és vonalzóval elvégezhető szerkesztés elvégezhető csak körző segítségével is.” Erről, és még számos híres matematikai problémáról olvashatunk Heinrich Dörrie: A diadalmas matematika c. könyvében. (Szóval ez most egyben könyvajánlás is!) A könyvet egyébként az egyik matektanárunk, Hraskó András ajánlotta.

20. feladat, megoldás: Adott A és B pont.

1) A-ból és B-ből körívezünk AB-vel --> C metszéspont.

2) A-ból és C-ből körívezünk AB-vel --> D metszéspont.

3) A-ból és D-ből körívezünk AB-vel --> E metszéspont.

4) E-ből körívezünk BD-vel --> F metszéspont az AB szakaszon.

5) B-ből körívezünk BE-vel, D-ből körívezünk FB-vel --> G a két körív metszéspontja (a két körív valójában érinti egymást).

6) F-ből körívezünk EG-vel --> a keletkezett körív és a B középpontú, AB sugarú körív (ld. 1)) metszéspontja a négyzet harmadik pontja, H.

7) H-ből körívezünk AB-vel :) --> a keletkezett körív és az A középpontú, AB sugarú körív (ld. 1)) metszéspontja a négyzet negyedik pontja.

Kicsit több, mint egy éve jöttem rá erre a megoldásra. Most megprobáltam szerkesztéssel ellenőrizni, nem nagyon jött ki, de biztos azért, mert bénán szerkesztek. Elméletileg szerintem jó. Bizonyítást nem írtam, mert ha megvan az ábra, már nagyon egyszerű belátni, hogy a négyzet pontjait kapjuk. Ábrát nem készítettem, mert lusta voltam (órákig tartana egy ilyen ábrát megcsinálni az én programarzenálommal), és mert az ábra lelövi a poént. Így aki meg akarja oldani a feladatot, egyszerűen nem olvassa el a szerkesztés menetét.

Remélem nem néztem el semmit és nem vesztegettem el negyed órát egy hibás szerkesztés leírásával :)

Kedves Bricktop!

Igazad van adott még a két ponton átmenő egyenes is. Bocsi.

A 20. feladatban a 2 pont nincs véletlenül összekötve? Mert nekem van megoldásom, de csak ha egy szakasz van megadva (tehát 2 pont ami össze van kötve).

PQ azért merőleges AB-re, mert PAQ háromszögben QC és PD magasságvonal, tehát B a PAQ háromszög magasságpontja, ebből következik, hogy AB egyenes is magassága a PAQ háromszögnek, tehát merőleges AB PQ-ra.

20.feladat: Adott két pont. Egyetlen körző segítségével rajzoljunk négyzetet, melynek e két pont két szomszédos csúcsa.

Mivel csak vonalzót használhatunk mást nem is tehetünk csak összekötünk két pontot. PA majd PB. Ezek metszik a kört C és D pontokban. Ezután CB, AD ezek metszik egymást Q-ban.

Bizonyítandó: PQ egyenes merőleges AB-re!

Kedves László!

Köszönöm a szép ábrát, kicsit reméltem is, hogy lesz türelmed megrajzolni. Maradva a geometriánál, egy nem túl nehéz de érdekes feladat: adva van egy kör, a középpontján átmenő egyenes, és egy pont a körön és egyenesen kívül. Egy egyenes vonalzó használatával szerkesszünk a ponton átmenő, egyenesre merőleges egyenest.

Kedves Attila!

Szép a megoldás! Remélem nem haragszol ha teszek fölé egy ábrát!

Utoljára az általam feladott háromszöges feladatról. Csillag megoldása ABD szög=50 fok esetére ismét nagyon ötletes és egyszerű. Én jóval körülményesebben oldottam meg, mégis leírom, mert megoldja az ABD=70 fok esetet is. Tehát: Szerkesszünk a BC oldalra kifelé szabályos háromszöget, amelynek harmadik csúcsa legyen K. A D´ pontot AC-n vegyük fel úgy, hogy CKD´ szög=20 fok legyen. Megmutatjuk, hogy ekkor D és D´ egybeesik. Valóban, mivel D´CK szög=80 fok és CKD´=20 fok, ezért CD´K=80 fok és KC=KD´=KB. A D´KB szög=40 fok, ezért (és KD´=KB miatt) KBD´ szög=70 fok. De KBD szög is =70 fok, ezért D´=D. Megállapítottuk tehát, hogy a CDK háromszög egybevágó az ABC háromszöggel, ezért CD=AB. De GD=GC-CD=GB-CD=GB-AB=GB-FB=GF, és GF=GE miatt GD=GE, amiből GDE=50 fok, és EDB=20 fok.

Az ABD=50 fok esete: D helyett L-lel jelöljük a szóbanforgó pontot, és D maradjon meg az előzőek szerint, tehét ABL szög =50 fok és EDA szög=50 fok. Szintén DC=AB=AL miatt AEL és CED háromszögek egybevágók, ezért EL=ED, de LDE szög =50 fok (D-t most így vettük vel, nem az előző feladatból jött, bár egybeesik vele), DLE szög is = 50 fok, amiből ELB szög =80 fok.

Bocs a hosszú hozzászólásért, legközelebb rövidebb leszek.