Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: Érdekes matekfeladatok

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]    [161]    [162]    [163]    [164]    [165]    [166]    [167]    [168]    [169]    [170]    [171]    [172]    [173]    [174]    [175]    [176]    [177]    [178]    [179]    [180]    [181]    [182]    [183]    [184]    [185]    [186]    [187]    [188]    [189]    [190]    [191]    [192]    [193]    [194]    [195]    [196]    [197]    [198]    [199]    [200]    [201]    [202]    [203]    [204]    [205]    [206]    [207]    [208]    [209]    [210]    [211]    [212]    [213]    [214]    [215]    [216]    [217]    [218]    [219]    [220]    [221]    [222]    [223]    [224]    [225]    [226]    [227]    [228]    [229]    [230]    [231]    [232]    [233]    [234]    [235]    [236]    [237]    [238]    [239]    [240]    [241]    [242]    [243]    [244]    [245]    [246]    [247]    [248]    [249]    [250]    [251]    [252]    [253]    [254]    [255]    [256]    [257]    [258]    [259]    [260]    [261]    [262]    [263]    [264]    [265]    [266]    [267]    [268]    [269]    [270]    [271]    [272]    [273]    [274]    [275]    [276]    [277]    [278]    [279]    [280]    [281]    [282]    [283]    [284]    [285]    [286]    [287]    [288]    [289]    [290]    [291]    [292]    [293]    [294]    [295]    [296]    [297]    [298]    [299]    [300]    [301]    [302]    [303]    [304]    [305]    [306]    [307]    [308]    [309]    [310]    [311]    [312]    [313]    [314]    [315]    [316]    [317]    [318]    [319]    [320]    [321]    [322]    [323]    [324]    [325]    [326]    [327]    [328]    [329]    [330]    [331]    [332]    [333]    [334]    [335]    [336]    [337]    [338]    [339]    [340]    [341]    [342]    [343]    [344]    [345]    [346]    [347]    [348]    [349]    [350]    [351]    [352]    [353]    [354]    [355]    [356]    [357]    [358]    [359]    [360]    [361]    [362]    [363]    [364]    [365]    [366]    [367]    [368]    [369]    [370]    [371]    [372]    [373]    [374]    [375]    [376]    [377]    [378]    [379]    [380]    [381]    [382]    [383]    [384]    [385]    [386]    [387]    [388]    [389]    [390]    [391]    [392]    [393]    [394]    [395]    [396]    [397]    [398]    [399]    [400]    [401]    [402]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[930] neo2005-05-10 01:07:15

Http://matek2005.fw.hu

[929] Lóczi Lajos2005-05-10 00:23:57

Gratulálok, nekem is ezek az értékek jöttek ki (bár én sehol sem használtam geometriai meggondolásokat -- vannak példák arra, hogy az analógiáink magas dimenzióban nem működnek), úgyhogy azért a többieknek is maradhat még annyi a feladatból, hogy vagy igazoljuk a geometriai érvelésedet, vagy geometriától függetlenül oldjuk meg a problémát.

Előzmény: [928] levi, 2005-05-09 23:50:42
[928] levi2005-05-09 23:50:42

167-170. feladatra: a két dimenziós eset vizsgálata: vegyük a két külső kör középpontját, ezek A(r+1,0) és B(0,r+1). Vegyük azt a szakaszt amit ez a két pont határoz meg, a keresett legkisebb sugarú kör érinti egymást, mégpedig a szakasz felezőpontjában, így már adott ennek is a koordinátája, a sugár egyenlő a felezőpont és az egyik külső kör középpontjának távolságával, r-re rendezés után szerintem ez: \frac 1 {\sqrt 2 -1}.

Három dimenziós esetben kössük ismét össze ezeket a pontokat, ezek egy háromszöget fognak meghatározni. a keresett pont a háromszög magasságpontja. a háromszög szerencsére szabályos, így a magasságpont egybeesik a súlyponttal, a súlypont koordinátái pedig kiszámíthatóak a csúcsok koordinátáiból... ismét felírva egy középpont és a magasságpont távolságát az egyenlő lesz r-rel , és utána rendezve megkapjuk r-t, ami nálam \frac {\sqrt 2} {\sqrt 3 - \sqrt 2}

ezután az általános n dimenziós eset: sajnos nem tudok 4 vagy magasabb dimenzóban látni, és annak a (koordináta)geometriáját sem tudom, de talán az előző két esetből levont következtetésem jó lesz... szóval a körök középpontjai adottak, a keresett pont mely egyenlő távolságra van mindegyiktől szerintem K(\frac {r+1} n, \frac {r+1} n,...,\frac {r+1} n) (összesen n-szer). Ekkor egy középpont és a K távolsága lesz egyenlő a sugárral. Mivel a középpontok mind egy-egy tengelyen vannak, ezért koordinátái közül pontosan egy lesz r+1 az összes többi 0. Ha felírjuk a távolságképletet, majd kiemelünk a gyök alól (\frac {r+1} n)^2-t, akkor azt kapjuk hogy r=\sqrt{{(n-1)^2}+n-1} (\frac {r+1} n). Rendezzük r-re, majd egyszerűsítünk, akkor azt kapjuk hogy r=\frac {\sqrt {n-1}} {\sqrt n -\sqrt {n-1}} . Ezalapján az n=4 eset már könnyen kiszámolható...

[927] Lóczi Lajos2005-05-09 23:40:43

Sajnos nem, a L'Hospital-szabály egyébként (pontos kimondásában) nem így szól.

Előzmény: [926] levi, 2005-05-09 22:54:00
[926] levi2005-05-09 22:54:00

LHospital szabály szerint \lim_{\infty} \frac{f}{g}=\lim_{\infty} \frac{f'}{g'}, tehát \lim_{\infty} \frac{f'}{g'}=0 igaz (vagy túl egyszerű így, és van benne vmi csavar, tehát a nem rafináltak ezt mondanák rá (pl én) de mégsem ez a megoldás??).

Előzmény: [922] Lóczi Lajos, 2005-05-09 20:09:29
[925] Lóczi Lajos2005-05-09 21:58:25

169. feladat. Tekintsük a 4 dimenziós térben az origó középpontú egységsugarú hipergömböt (azaz 4 dimenziós gömböt). A 4 koordinátatengely pozitív félegyenesén az origótól 1+r távolságra helyezzünk el 4 darab egyforma, r sugarú hipergömböt. Legalább mekkora legyen az r>0 szám értéke, hogy legyen olyan pont, amely mind a 4 hipergömbön rajta van?

170. feladat. Általánosítsuk az előző kérdést n-dimenzióra, és adjuk is meg a minimális r>0 értéket a dimenzió függvényében.

[924] Lóczi Lajos2005-05-09 21:55:48

168. feladat. Tekintsük a közönséges 3 dimenziós térben az origó középpontú egységgömböt. A 3 koordinátatengely pozitív félegyenesén az origótól 1+r távolságra helyezzünk el 3 darab egyforma, r sugarú gömböt. Legalább mekkora legyen az r>0 szám értéke, hogy legyen olyan pont, amely mind a 3 gömbön rajta van?

[923] Lóczi Lajos2005-05-09 21:52:11

167. feladat. Tekintsük a közönséges 2 dimenziós síkon az origó középpontú egységkört. A 2 koordinátatengely pozitív félegyenesén az origótól 1+r távolságra helyezzünk el 2 darab egyforma, r sugarú kört. Legalább mekkora legyen az r>0 szám értéke, hogy e két külső körnek is legyen közös pontja?

[922] Lóczi Lajos2005-05-09 20:09:29

166. feladat. Legyenek f és g az egész számegyenesen deriválható valós függvények, és tegyük fel, hogy \lim_{\infty} \frac{f}{g}=0. Igaz-e, hogy ekkor \lim_{\infty} \frac{f'}{g'}=0?

[921] Lóczi Lajos2005-05-06 23:26:45

Kissé szűkszavú indoklás :), de az eredmények persze jók.

Előzmény: [920] levi, 2005-05-06 21:29:49

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]    [161]    [162]    [163]    [164]    [165]    [166]    [167]    [168]    [169]    [170]    [171]    [172]    [173]    [174]    [175]    [176]    [177]    [178]    [179]    [180]    [181]    [182]    [183]    [184]    [185]    [186]    [187]    [188]    [189]    [190]    [191]    [192]    [193]    [194]    [195]    [196]    [197]    [198]    [199]    [200]    [201]    [202]    [203]    [204]    [205]    [206]    [207]    [208]    [209]    [210]    [211]    [212]    [213]    [214]    [215]    [216]    [217]    [218]    [219]    [220]    [221]    [222]    [223]    [224]    [225]    [226]    [227]    [228]    [229]    [230]    [231]    [232]    [233]    [234]    [235]    [236]    [237]    [238]    [239]    [240]    [241]    [242]    [243]    [244]    [245]    [246]    [247]    [248]    [249]    [250]    [251]    [252]    [253]    [254]    [255]    [256]    [257]    [258]    [259]    [260]    [261]    [262]    [263]    [264]    [265]    [266]    [267]    [268]    [269]    [270]    [271]    [272]    [273]    [274]    [275]    [276]    [277]    [278]    [279]    [280]    [281]    [282]    [283]    [284]    [285]    [286]    [287]    [288]    [289]    [290]    [291]    [292]    [293]    [294]    [295]    [296]    [297]    [298]    [299]    [300]    [301]    [302]    [303]    [304]    [305]    [306]    [307]    [308]    [309]    [310]    [311]    [312]    [313]    [314]    [315]    [316]    [317]    [318]    [319]    [320]    [321]    [322]    [323]    [324]    [325]    [326]    [327]    [328]    [329]    [330]    [331]    [332]    [333]    [334]    [335]    [336]    [337]    [338]    [339]    [340]    [341]    [342]    [343]    [344]    [345]    [346]    [347]    [348]    [349]    [350]    [351]    [352]    [353]    [354]    [355]    [356]    [357]    [358]    [359]    [360]    [361]    [362]    [363]    [364]    [365]    [366]    [367]    [368]    [369]    [370]    [371]    [372]    [373]    [374]    [375]    [376]    [377]    [378]    [379]    [380]    [381]    [382]    [383]    [384]    [385]    [386]    [387]    [388]    [389]    [390]    [391]    [392]    [393]    [394]    [395]    [396]    [397]    [398]    [399]    [400]    [401]    [402]