[960] jonas | 2005-06-13 21:51:02 |
A g(x)=x+1 is jó ellenpélda mindhárom esetre. A g(x)=1-et én is kipróbáltam, de úgy látszik, nem vettem észre, hogy az is mindig jó. Szerintem ez bizonyítja, hogy én nem számoltam túl sokat, hiszen csak beírtam az első olyan ellenpéldát, ami kijött.
|
Előzmény: [959] Lóczi Lajos, 2005-06-13 14:45:33 |
|
[959] Lóczi Lajos | 2005-06-13 14:45:33 |
Hogy hogy tudtok ilyen bonyolult ellenpéldákat kifundálni :-), g(x)=x+1, egy csomót kell számolni, hogy leellenőrizze az ember.
(Ami nekem -- igaz, sajnos nem öt perc után -- beugrott, mint ellenpélda, az a szimpla g(x):=c választás: ez alkalmas c-vel mindegyiket cáfolja. Szinte érzem, hogy sugallják a feladat kitűzői, hogy próbáljuk meg a cx alakú függvényeket, mint "jobb szélső" esetet, 0 és 1 közötti c-vel, ezekre azonban mindhárom eset teljesül...)
|
Előzmény: [958] jonas, 2005-06-12 18:54:39 |
|
[958] jonas | 2005-06-12 18:54:39 |
Nem baj, ha lelövöm a megoldást?
Ha g(x)=1, akkor 0=g'(x) így a feltétel teljesül, de ha 0<x<1, tehát (a) vagy (c) biztosan nem mindig igaz.
Másrészt a (b) sem feltétlenül igaz, szerintem g(x)=x+1 ellenpélda rá.
|
Előzmény: [957] Lóczi Lajos, 2005-06-12 14:09:43 |
|
[957] Lóczi Lajos | 2005-06-12 14:09:43 |
177. feladat. Nemrég valahol tesztkérdésként (!) tűztek ki egy, az alábbihoz hasonló feladatot (tehát úgy gondolom, nem volt túl sok idő a megoldására).
Válasszuk meg a g:(0,)R deriválható függvényt tetszőlegesen úgy, hogy 0g'(x)1 teljesüljön minden x>0 esetén. Döntsük el, melyik állítás igaz mindig.
a.) Minden x(0,1)
b.) Minden x1
c.) Minden x>0
esetén fennáll, hogy
|
|
[956] Lóczi Lajos | 2005-06-12 13:45:31 |
Szép megoldás. Beírom, hogy a feladatra milyen "megoldást" láttam, tanulságos a kettőt összehasonlítani. (Idézőjelbe tettem azokat a részeket, ami miatt a két megoldás látszólagosan elétér.)
Alkalmazzuk a jobb oldalon a tangensfüggvény ismert "azonosságát",
és a rövidség kedvéért pl. legyen y:=tg(x), valamint a:=tg(1) ekkor azt kapjuk, hogy
Ez utóbbi egyenletnek azonban y-ban nincs megoldása, "tehát" a kiindulási egyenletnek sincs.
|
Előzmény: [955] levi, 2005-06-10 20:15:33 |
|
[955] levi | 2005-06-10 20:15:33 |
-2ctg1=tg(1-x)+tg(1+x)
-cos(1-x)cos(1+x)=sin21
-(cos1cosx+sin1sinx)(cos1cosx-sin1sinx)=sin21
sin21sin2x-cos21cos2x=sin21
sin21sin2x-(1-sin21)(1-sin2x)=sin21
sin21sin2x-(1-sin2x-sin21+sin21sin2x)=sin21
-1+sin2x=0
sin2x=1
+ellenörzés (remélem nem baj hogy azt nem írom ide)...
|
Előzmény: [954] Lóczi Lajos, 2005-06-09 14:30:46 |
|
[954] Lóczi Lajos | 2005-06-09 14:30:46 |
176. feladat. Oldjuk meg a valós számok halmazán az alábbi egyenletet:
-2ctg1=tg(1-x)+tg(1+x)
|
|
|
[952] jonas | 2005-06-05 20:39:58 |
Megpróbálom.
Tegyük fel, hogy az f folytonos függvény az egész R-en értelmezett, és minden értéket pontosan kétszer vesz fel.
Vegye fel az y0 számot az x0 és x1 pontokban, ahol x0<x1. Tekintsük az (x0,x1) intervallumot! Mivel itt f nem veszi fel x0-t, vagy csak y0-nál nagyobb, vagy csak y0-nál kisebb értéket vesz fel. Szimmetriaokokból tegyük fel, hogy csupa nagyobbat vesz fel. Ezen a középső intervallumon a függvénynek van maximuma, mégpedig az x2 pontban, ahol f(x2)=y2.
Legyen y3 a másik pont, ahol f(y3)=x2. A szimmetria miatt feltehetjük, hogy y2<y3
Két eset lehetséges.
Vagy x2<x3<x1, de ekkor az (y2,y3) intervallumban f értéke kisebb y2-nél, de nagyobb y0-nál. De az ilyen értékeket f a közbülsőérték-tétel miatt az (y0,y2) és az (y3,y1) intervallumon is mind felveszi, tehát legalább három helyen is, ami ellentmondás.
Ha viszont x1<x3, akkor f az (y0,y2), (y2,y1) és az (y1,y3) intervallumon is felveszi az összes (x2,x3)-beli értéket, ami lehetetlen.
|
Előzmény: [951] Lóczi Lajos, 2005-06-05 19:29:33 |
|
|