Fórum: Érdekes matekfeladatok

[1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232] [233] [234] [235] [236] [237] [238] [239] [240] [241] [242] [243] [244] [245] [246] [247] [248] [249] [250] [251] [252] [253] [254] [255] [256] [257] [258] [259] [260] [261] [262] [263] [264] [265] [266] [267] [268] [269] [270] [271] [272] [273] [274] [275] [276] [277] [278] [279] [280] [281] [282] [283] [284] [285] [286] [287] [288] [289] [290] [291] [292] [293] [294] [295] [296] [297] [298] [299] [300] [301] [302] [303] [304] [305] [306] [307] [308] [309] [310] [311] [312] [313] [314] [315] [316] [317] [318] [319] [320] [321] [322] [323] [324] [325] [326] [327] [328] [329] [330] [331] [332] [333] [334] [335] [336] [337] [338] [339] [340] [341] [342] [343] [344] [345] [346] [347] [348] [349] [350] [351] [352] [353] [354] [355] [356] [357] [358] [359] [360] [361] [362] [363] [364] [365] [366] [367] [368] [369] [370] [371] [372] [373] [374] [375] [376] [377] [378] [379] [380] [381] [382] [383] [384] [385] [386] [387] [388] [389] [390] [391] [392] [393] [394] [395] [396] [397] [398] [399] [400] [401] [402]

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.

[3048] jenei.attila

2009-10-30 11:05:45

És ekkor

f(x)=f(1)*2^log₃x, ha x>0

f(x)=f(-1)*2^log₃(-x), ha x<0

és f(0)=0

Előzmény: [3047] jenei.attila, 2009-10-30 11:00:04

[3049] HoA

2009-10-30 13:24:23

Ez ugyanaz a konstrukció, amit [3036]-ban jeleztem. x₀=1 választással y₀=f(1) és $y = y_0 \cdot {\left( \frac{x}{x_0}\right) }^{log_3 2} = f(1) \cdot x^{log_3 2}$ . Legyen x=3^u . $x^{log_3 2} = \left(3^u \right)^ {log_3 2} = \left( 3^{log_3 2}\right)^u = 2^u = 2^{log_3\left(3^u\right)} = 2^{log_3 x}$ .

Éppen Lóczi Lajos [3038] után gondolkodtam el azon, miért ne lehetne másmilyen is a függvény? Elég, ha egy [x₀;3x₀] tartományon úgy definiálom a folytonos f-et, hogy a feltétel teljesüljön, valamint f’(3x₀)=2/3f’(x₀) legyen. Ezzel a szabály alapján rekurzív módon megadtam a [3x₀;9x₀]...[3^kx₀;3^k+1x₀] illetve [3^-k-1x₀;3^-k] tartományokra is. Szerintem az ilyen függvények megfelelnek a [3044]-ben leírtaknak, és így ott nem adtuk meg az összes ilyen függvényt. Miért nem jó például $f(x) = x + 1 - \frac{x}{7 \pi} sin ((x-1) \pi)$ és az ebből a fentiek valamint x < 0-ra [3044] szerint származtatott függvény? Erre

f(1)=1;f(3)=2;f’(1)=6/7ésf’(3)=4/7

(ha jól számoltam. )

Előzmény: [3048] jenei.attila, 2009-10-30 11:05:45

[3050] jenei.attila	2009-10-30 23:45:00
Valóban ugyanaz a konstrukció. Tényleg nem adtam meg az összes fv.-t, és ahogy javasoltad úgy jó fv.-ek konstruálhatók. Elég megadni pl. az [1,3] intervallumon akármilyen deriválható fv.-t, amelyre f(3)=2f(1), és 3-ban a balodali derivált értéke az 1-beli jobboldali derivált értékének 2/3-szorosa. A többi a már általad leírt módon mehet tovább. Ilyen módon valóban az összes megfelelő fv.-t megadjuk (a 0-beli deriválhatóság természetesen nem teljesíthető).
Előzmény: [3049] HoA, 2009-10-30 13:24:23

[3051] Lóczi Lajos	2009-10-31 00:19:34
Az irodalomban egyébként ezt hívják a "fundamentális tartományok" módszerének.
Előzmény: [3050] jenei.attila, 2009-10-30 23:45:00

[3052] m2mm	2009-11-27 14:42:14
Igaz-e, hogy ha az egész számpárok halmazán van megoldása a kx+l=y² egyenletnek(k,l adott), akkor végtelen sok megoldása van a kx²+l=y² egyenletnek?

[3053] BohnerGéza

2009-11-27 18:32:11

Nem.

x+8=yy (k=1, l=8) egyenletnek van megoldása: (1,3).

Az xx+8=yy egyenletnek csak 4 mo-sa van: (1,3), (1,-3), (-1,3), (-1,-3)

Előzmény: [3052] m2mm, 2009-11-27 14:42:14

[3054] m2mm	2009-11-27 18:44:02
Ja, persze: elfelejtettem beleírni, hogy k nem négyzetszám.
Előzmény: [3053] BohnerGéza, 2009-11-27 18:32:11

[3055] BohnerGéza	2009-11-27 21:16:30
k=3, l=3 esetén ugyanazok a megoldások, mint az előző hozzászólásomban.
Előzmény: [3054] m2mm, 2009-11-27 18:44:02