Fórum: Érdekes matekfeladatok

[1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232] [233] [234] [235] [236] [237] [238] [239] [240] [241] [242] [243] [244] [245] [246] [247] [248] [249] [250] [251] [252] [253] [254] [255] [256] [257] [258] [259] [260] [261] [262] [263] [264] [265] [266] [267] [268] [269] [270] [271] [272] [273] [274] [275] [276] [277] [278] [279] [280] [281] [282] [283] [284] [285] [286] [287] [288] [289] [290] [291] [292] [293] [294] [295] [296] [297] [298] [299] [300] [301] [302] [303] [304] [305] [306] [307] [308] [309] [310] [311] [312] [313] [314] [315] [316] [317] [318] [319] [320] [321] [322] [323] [324] [325] [326] [327] [328] [329] [330] [331] [332] [333] [334] [335] [336] [337] [338] [339] [340] [341] [342] [343] [344] [345] [346] [347] [348] [349] [350] [351] [352] [353] [354] [355] [356] [357] [358] [359] [360] [361] [362] [363] [364] [365] [366] [367] [368] [369] [370] [371] [372] [373] [374] [375] [376] [377] [378] [379] [380] [381] [382] [383] [384] [385] [386] [387] [388] [389] [390] [391] [392] [393] [394] [395] [396] [397] [398] [399] [400] [401] [402]

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.

[3033] Lóczi Lajos

2009-10-29 10:47:02

Legyen f olyan valós függvény, amelyik mindenhol értelmezve van és mindenhol deriválható. Tudjuk továbbá, hogy minden valós x esetén f(3x)=2f(x).

Adjuk meg az összes ilyen tulajdonságú f leképezést.

[3034] nadorp

2009-10-29 14:11:01

Egy hónappal lemaradtam, de találtam egy szinte számolás nélküli megoldást.

y_n+1=(1+x)y_n+nx²

y_n+1+nx=(1+x)(y_n+nx)

y_n+1+(n+1)x=(1+x)(y_n+nx)+x

y_n+1+(n+1)x+1=(1+x)(y_n+nx+1)

Most már csak fel kell írni a fenti utolsó összefüggést az n=0,1,...,n-1 értékekre és összeszorozni őket. Kapjuk:

y_n+nx+1=(1+x)ⁿ(y₀+0^.x+1)=2(1+x)ⁿ

y_n=2(1+x)ⁿ-nx-1

Más:

Lóczi Lajos utolsó példájára szerintem csak az f(x)=0 a megoldás.

Előzmény: [3028] jonas, 2009-09-27 20:46:48

[3035] jenei.attila	2009-10-29 14:43:51
Szerintem is csak f(x)=0 megoldás. Nyilván igaz, hogy f(0)=0, és f(3ⁿx)=2ⁿf(x) minden n egészre. Ha f deriválható 0-ban, akkor egy tetszőleges a valós számot kiválasztva $f'(0)=lim (\frac{3}{2})^k f(a)$ , ahol k tart végtelenbe. De ez a határérték végtelenbe (vagy - végtelenbe) tart, ha f(a) $\ne$ 0, vagyis f csak akkor deriválható 0-ban, ha f(a)=0 minden a valós számra.
Előzmény: [3033] Lóczi Lajos, 2009-10-29 10:47:02

[3036] HoA

2009-10-29 14:54:54

Én arról az oldalról próbáltam, hogy egészről valósra áttérve igazoljuk, hogy a függvény csak

$y = y_0 \cdot {\left( \frac{x}{x_0}\right) }^{log_3 2}$

alakú lehet, ahonnan már következik, hogy a 0 -beli deriválhatósággal van a baj.

Előzmény: [3035] jenei.attila, 2009-10-29 14:43:51

[3037] nadorp

2009-10-29 15:24:20

Valamit nem értek vagy nem látok, de szerintem csak azt tudjuk, hogy tetszőleges a-ra

$f^{'}(\frac a{3^k})=\left(\frac32\right)^kf^{'}(a)$ teljesül. Amit Te írtál, ott a jobb oldalon f(a) áll és nem a deriváltja. Hogy jött ez Neked ki ?

Másrészt az f-ről csak azt tudjuk, hogy deriválható és nem biztos, hogy folytonosan deriválható. Miért teljesül

$f^{'}(0)=\lim_{k\to\infty} f^{'}(\frac a{3^k})$

Előzmény: [3035] jenei.attila, 2009-10-29 14:43:51

[3038] Lóczi Lajos	2009-10-29 16:53:41
Ezt meg tudnád indokolni egy kicsit, hogy miért kell így lennie?
Előzmény: [3036] HoA, 2009-10-29 14:54:54

[3039] jenei.attila

2009-10-29 16:56:12

Húha, most meg én nem értem amit te írtál, de majd még gondolkodok rajta. Hogy f(0)=0, és f(3ⁿx)=2ⁿf(x), az teljes indukcióval nyilvánvaló (negatív n-ekre is). Képezzük a $a,\frac{1}{3}a,\frac{1}{9}a,...,\frac{1}{3^k}a,...$ 0-hoz tartó sorozatot. Az itt felvett függvényértékek a képletünk szerint: $f(a),\frac{1}{2}f(a),\frac{1}{4}f(a),...,\frac{1}{2^k}f(a),...$ . Ha f 0-ban deriválható, akkor 0-ban, ezekkel a pontokkal képzett különbségi hányados értékek (mivel f(0)=0):

$\frac{f(a)}{a},\frac{\frac{1}{2}f(a)}{\frac{1}{3}a},\frac{\frac{1}{4}f(a)}{\frac{1}{9}a},...,\frac{\frac{1}{2^k}f(a)}{\frac{1}{3^k}a},...$

véges határértékhez kell, hogy tartsanak. Ez azonban csak akkor lehetséges, ha f(a)=0. Az előző hozzászólásban valóban elírtam, lemaradt a nevezőből az a. De a lényeg ugyanaz.

Előzmény: [3037] nadorp, 2009-10-29 15:24:20

[3040] rizsesz	2009-10-29 20:46:03
f(x)=lg2/lg3 * x (csaltam, a hányados éppen 3-as alapú logaritmus 2 ugye, de elfelejtettem az alapokat is TeX-ben... :()
Előzmény: [3033] Lóczi Lajos, 2009-10-29 10:47:02

[3041] Lóczi Lajos	2009-10-29 23:00:22
Amiből az jönne ki, hogy 3=2.
Előzmény: [3040] rizsesz, 2009-10-29 20:46:03

[3042] Lóczi Lajos	2009-10-29 23:04:25
Ez a függvény valósban csak a nemnegatív számokon értelmezett. (Miért lenne baj a 0-ban a deriválással?)
Előzmény: [3036] HoA, 2009-10-29 14:54:54

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?