Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: Érdekes matekfeladatok

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]    [161]    [162]    [163]    [164]    [165]    [166]    [167]    [168]    [169]    [170]    [171]    [172]    [173]    [174]    [175]    [176]    [177]    [178]    [179]    [180]    [181]    [182]    [183]    [184]    [185]    [186]    [187]    [188]    [189]    [190]    [191]    [192]    [193]    [194]    [195]    [196]    [197]    [198]    [199]    [200]    [201]    [202]    [203]    [204]    [205]    [206]    [207]    [208]    [209]    [210]    [211]    [212]    [213]    [214]    [215]    [216]    [217]    [218]    [219]    [220]    [221]    [222]    [223]    [224]    [225]    [226]    [227]    [228]    [229]    [230]    [231]    [232]    [233]    [234]    [235]    [236]    [237]    [238]    [239]    [240]    [241]    [242]    [243]    [244]    [245]    [246]    [247]    [248]    [249]    [250]    [251]    [252]    [253]    [254]    [255]    [256]    [257]    [258]    [259]    [260]    [261]    [262]    [263]    [264]    [265]    [266]    [267]    [268]    [269]    [270]    [271]    [272]    [273]    [274]    [275]    [276]    [277]    [278]    [279]    [280]    [281]    [282]    [283]    [284]    [285]    [286]    [287]    [288]    [289]    [290]    [291]    [292]    [293]    [294]    [295]    [296]    [297]    [298]    [299]    [300]    [301]    [302]    [303]    [304]    [305]    [306]    [307]    [308]    [309]    [310]    [311]    [312]    [313]    [314]    [315]    [316]    [317]    [318]    [319]    [320]    [321]    [322]    [323]    [324]    [325]    [326]    [327]    [328]    [329]    [330]    [331]    [332]    [333]    [334]    [335]    [336]    [337]    [338]    [339]    [340]    [341]    [342]    [343]    [344]    [345]    [346]    [347]    [348]    [349]    [350]    [351]    [352]    [353]    [354]    [355]    [356]    [357]    [358]    [359]    [360]    [361]    [362]    [363]    [364]    [365]    [366]    [367]    [368]    [369]    [370]    [371]    [372]    [373]    [374]    [375]    [376]    [377]    [378]    [379]    [380]    [381]    [382]    [383]    [384]    [385]    [386]    [387]    [388]    [389]    [390]    [391]    [392]    [393]    [394]    [395]    [396]    [397]    [398]    [399]    [400]    [401]    [402]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[3003] MTM2009-08-01 13:27:33

Ha van másik 10n+1 alakú prím, akkor annak a négyzete pal., de tudtommal nem ismert másik(és nincs is bizonyítva, hogy nincs több), magyarán ez a kérdés baromi nehéz.

Előzmény: [3000] Radián, 2009-07-22 19:17:50
[3004] Radián2009-08-05 18:12:59

Igen. Köszönöm a javítást nem vettem észre, hogy a lényeget kihagytam. Jól gondolom, hogy semmiféle a sorba fejtés nem visz előbbre?

Előzmény: [3001] m2mm, 2009-08-01 11:56:37
[3005] djuice2009-08-12 21:08:56

Sziasztok!

A következő feladatot adnám fejtörés gyanánt: Adottak A és B pontok melyek mozognak egy meghatározott síkban, A-B távolsága mindíg állandó. A pont vízszintesen mozog, B függőlegesen. Ha A-B pontok állandó távolságát pl egy rúddal szemléltetjük, a rúd mozgás során kapott gördülési íve milyen síkgörbével határozható meg? Továbbá ha ezt a rendszert pl egy lezáródó garázsajtóként értelmezzük (merthogy gyakorlati alkalmazásként onnan származik), egy adott H magasságú jármű milyen minimális M távolságra kell beparkoljon a garázsba, hogy a lezáródó ajtó ne ütközzön a tetejének? (nem túl bonyolult feladat, de érdekes paraméteres egyenletet lehet rá felírni) :)

[3006] leni5362009-08-12 21:43:45

A [2973]-as hozzászólás ebben a témában ugyanezt a problémát veti föl, ami ki is lett vesézve a későbbiekben. A görbe neve asztroid, ez a szócikk leír fontosabb dolgokat róla.

Előzmény: [3005] djuice, 2009-08-12 21:08:56
[3007] Higgs2009-08-15 21:40:05

Üdv!

Egy négyzetszám+1 lehet egyenlő egy köbszámmal?

[3008] MTM2009-08-16 15:58:10

Igen: 02+1=13. Több megoldást nem találtam(de ez nem is volt kérdés).

Előzmény: [3007] Higgs, 2009-08-15 21:40:05
[3009] Higgs2009-08-16 16:02:20

Igen, rosszul tettem fel! Az előbb említett eseten kívűl van-e más megoldás is, és ha nincs, akkor hogyan bizonyítható?

[3010] m2mm2009-08-16 19:24:33

Én hirtelenjében csak annyira jutottam, hogyha a2+1=b3, akkor \frac{b-1}{3} négyzetszám. Ez lehet, hogy segít.

Előzmény: [3009] Higgs, 2009-08-16 16:02:20
[3011] Lóczi Lajos2009-08-17 13:54:34

Ez a típus a Mordell-egyenletek családjába tartozik, melyeknek véges sok egész megoldása van. A példádban valóban nincs más, csak az említett megoldás, de ennek igazolása nem megy "elemi" maradékosztályos vizsgálatokkal. Itt egy link, ahol többek között megtalálod a levezetést:

http://www.math.uconn.edu/~kconrad/blurbs/gradnumthy/mordelleqn1.pdf

Előzmény: [3007] Higgs, 2009-08-15 21:40:05
[3012] m2mm2009-08-17 14:50:26

Én találtam egy (lehet hogy elemi[mi számít eleminek?], mindenesetre komplex számok nélküli) megoldást. Legyen a>0, tehát a többi megoldást keressük.

a2+1=b3, tehát a2=b3-1=(b-1)(b2+b+1)=(b-1)((b-1)2+3(b-1)+3). Tetszőleges 3-mal nem egyenlő p prímre, b-1=pkl alakba írható. a2=pk(p2kl3+3pkl2+3l) Ha k>0, akkor p2kl3+3pkl2+3l nem osztható p-vel, tehát k páros. Magyarán b-1=c2, vagy b-1=3c2. Előbbi esetben Q=(b-1)2+3(b-1)+3 négyzetszám, de ((b-1)+1)2<Q<((b-1)+2)2, tehát mégse az: b-1=3c2.Mivel a>0, ezért b>1, tehát c pozitív.

a2+1=(3c2+1)3=27c6+27c4+9c2+1, ebből e^2=(\frac{a}{3c})^2=3c^4+3c^2+1. (c2+1)2<e2<(2c2+1)2. Tehát e c2-tel való osztási maradéka 2,3,4,...,0 lehet(tehát csak 1 nem lehet), mindegyik 1 esetben. e2 c2-tel való osztási maradéka 1.

Tehát e=c2+f, e2=c4+2fc2+f2, e2\equivf2\equiv12 (modc2), tehát c2|(f-1)(f+1), magyarán f=1 vagy f=c2-1. f=1 nem lehet, tehát e=2c2-1. Tehát 3c4+3c2+1=(2c2-1)2=4c4-4c2+1, 7c2=c4, c>0 miatt 7=c2, tehát c nem egész. Tehát csak az (a,b)=(0,1) számpár megoldás.

Előzmény: [3011] Lóczi Lajos, 2009-08-17 13:54:34

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]    [161]    [162]    [163]    [164]    [165]    [166]    [167]    [168]    [169]    [170]    [171]    [172]    [173]    [174]    [175]    [176]    [177]    [178]    [179]    [180]    [181]    [182]    [183]    [184]    [185]    [186]    [187]    [188]    [189]    [190]    [191]    [192]    [193]    [194]    [195]    [196]    [197]    [198]    [199]    [200]    [201]    [202]    [203]    [204]    [205]    [206]    [207]    [208]    [209]    [210]    [211]    [212]    [213]    [214]    [215]    [216]    [217]    [218]    [219]    [220]    [221]    [222]    [223]    [224]    [225]    [226]    [227]    [228]    [229]    [230]    [231]    [232]    [233]    [234]    [235]    [236]    [237]    [238]    [239]    [240]    [241]    [242]    [243]    [244]    [245]    [246]    [247]    [248]    [249]    [250]    [251]    [252]    [253]    [254]    [255]    [256]    [257]    [258]    [259]    [260]    [261]    [262]    [263]    [264]    [265]    [266]    [267]    [268]    [269]    [270]    [271]    [272]    [273]    [274]    [275]    [276]    [277]    [278]    [279]    [280]    [281]    [282]    [283]    [284]    [285]    [286]    [287]    [288]    [289]    [290]    [291]    [292]    [293]    [294]    [295]    [296]    [297]    [298]    [299]    [300]    [301]    [302]    [303]    [304]    [305]    [306]    [307]    [308]    [309]    [310]    [311]    [312]    [313]    [314]    [315]    [316]    [317]    [318]    [319]    [320]    [321]    [322]    [323]    [324]    [325]    [326]    [327]    [328]    [329]    [330]    [331]    [332]    [333]    [334]    [335]    [336]    [337]    [338]    [339]    [340]    [341]    [342]    [343]    [344]    [345]    [346]    [347]    [348]    [349]    [350]    [351]    [352]    [353]    [354]    [355]    [356]    [357]    [358]    [359]    [360]    [361]    [362]    [363]    [364]    [365]    [366]    [367]    [368]    [369]    [370]    [371]    [372]    [373]    [374]    [375]    [376]    [377]    [378]    [379]    [380]    [381]    [382]    [383]    [384]    [385]    [386]    [387]    [388]    [389]    [390]    [391]    [392]    [393]    [394]    [395]    [396]    [397]    [398]    [399]    [400]    [401]    [402]